¿Cómo se dividen el momento lineal y el momento angular en la colisión?

¿Cómo se dividen el momento lineal y el momento angular en la colisión?

La clave aquí es que el objeto experimenta un impulso vertical desde el suelo. La descripción de cómo el impulso se divide en momento lineal y momento angular se da mediante la aplicación de fuerzas y momentos de torsión durante un período de tiempo. Si$S=F \Delta t$es el impulso aplicado en la vertical, podemos ver cómo cambian el momento lineal y angular:

• $m\dot{y}'=m\dot{y}+S$(momento lineal)
• $I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (S\hat{y})$(momento angular -$\vec{r}$es el vector desde el centro de masa del objeto hasta el punto de contacto del objeto)

Si conecta estas dos ecuaciones en una ecuación que exige la conservación de energía, puede resolver el impulso$S$, junto con$\dot{y}'$y$\omega'$, y esto da una descripción completa del impacto. Lo resuelvo completamente a continuación.

Solución general a un cuerpo rígido que choca con el suelo

Entonces, para tratar con un cuerpo rígido giratorio, trabajaré en un espacio 3D (aunque en realidad solo necesitamos dos dimensiones) y con un rectángulo, como se muestra en la imagen. Usaré el momento angular. ¡Las claves aquí son el producto vectorial vectorial y el concepto de impulso!

Pasando a las definiciones:$(x,y)$son las coordenadas del centro de masa del objeto. Asumiré que el objeto se mueve en un plano 2D, así que$z=0$. El objeto tiene un$x$velocidad$\dot{x}$, a$y$velocidad$\dot{y}$, una velocidad angular$\omega$, una masa$m$, y un momento de inercia sobre el$\hat{z}$eje,$I$.

El bloque hace contacto con el suelo en alguna parte y recibe un "puñetazo" vertical, un impulso, desde el suelo. Para describir este golpe, dejemos$\vec{r}$Sea el vector desde el centro de masa del objeto hasta la esquina donde hace contacto con el suelo. El objeto tiene energía.$E=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}m\dot{y}^2+\frac{1}{2}I \omega^2$y momento angular$\vec{L}=I\omega\hat{z}$. Al escribir cómo cambian estas cantidades (momento lineal, momento angular, energía), resolvemos el problema.

Después de la colisión, el objeto tiene velocidades$\dot{x}'$y$\dot{y}'$y velocidad angular$\omega'$. El problema es determinar estas cantidades. Ayudará a imaginar que la colisión no es instantánea, sino que tiene lugar durante un pequeño período de tiempo.$\Delta t$.

Durante la duración del impacto, hay una fuerza normal dirigida hacia arriba.$F\hat{y}$. Durante todo el período de tiempo$\Delta t$esto proporciona un impulso$F\Delta t=S$. El cambio en la velocidad vertical de este impulso es justo$S/m$, de modo que$\dot{y}'=\dot{y}+S/m$. La fuerza$F$proporciona un par$\vec{r}\times (F\hat{y})$, dónde$\vec{r}$es el vector desde el centro de masa del objeto hasta su punto de contacto con el suelo. Esto da un cambio total en el momento angular:$I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (F\hat{y})$

Entonces tenemos tres ecuaciones:

1. $\frac{1}{2}m\dot{y}^2+\frac{1}{2}I \omega^2=\frac{1}{2}m\dot{y}'^2+\frac{1}{2}I \omega'^2$(conservación de energía.$\dot{x}$no puede cambiar porque la fuerza está dirigida verticalmente)
2. $I\omega'\hat{z}=I\omega \hat{z}+\vec{r}\times (S\hat{y})$(cambio en el momento angular debido a un impulso vertical)
3. $m\dot{y}'=m\dot{y}+S$(cambio en la cantidad de movimiento debido a un impulso vertical)

Esto da tres ecuaciones con tres incógnitas:$\omega'$,$\dot{y}'$, y$s$. Si reemplazas las ecuaciones dos y tres en la ecuación 1, obtienes una ecuación cuadrática en$s$y puedes resolverlo. Una ecuación cuadrática tiene dos soluciones.

La primera solución es$\omega'=\omega$,$\dot{y}'=\dot{y}$, y$s=0$. ¡Nada de lo que sucede es consistente con la conservación de energía!

La segunda solución es, donde$\vec{r}=(r_x, r_y,0)$:

Tenga en cuenta que la velocidad vertical del punto de colisión es$\omega r_x$, ¡y esa cantidad aparece varias veces en la fórmula!