¿Cómo se deriva el contenido de red en una celda unitaria bcc?

Tengo un texto que dice:

Los átomos se tocan a lo largo de un ⟨ 111 ⟩ dirección y esto se conoce como la dirección de empaquetamiento compacto. El parámetro de la red a = 4 r / 3 y el espaciamiento de los átomos a lo largo ⟨ 110 ⟩ direcciones es a 2 .

Estoy tratando de verificar esta constante de red a . En la imagen de abajo a se muestra. La imagen de la izquierda es la celda unitaria bcc y la de la derecha es una ( 110 ) plano (indicado en verde a la izquierda).

A la derecha hay una flecha que muestra una dirección compacta donde se encuentran los átomos, como dice el texto.

ingrese la descripción de la imagen aquí

al derivar a , tomo un triángulo rectángulo como el marcado en azul arriba. a es la hipetenusa, y dado que los átomos se encuentran (según el texto) a lo largo de los catetos (cada uno de los otros dos lados), estos serían cada uno 2 veces el radio, 2 r .

De Pitágoras:

a 2 = ( 2 r ) 2 + ( 2 r ) 2 ⇔ a = 4 r 2 + 4 r 2 = 8 r 2 = 8 r ≈ 2.83 r

Así que no es la misma respuesta que a = 4 r / 3 ≈ 2.30 r .

¿Estoy confundiendo las direcciones? O donde esta el error?

Respuestas (2)

El punto del cálculo es derivar una relación entre la constante de red a y el radio atómico r ; tampoco puedes "derivar" pero puedes relacionarlos entre sí.

La clave de la relación es la diagonal que une los vértices opuestos de la celda unitaria, pasando por el punto medio, cuya longitud viene dada por el teorema de Pitágoras (tridimensional) como

L = a 2 + a 2 + a 2 = 3 a .
Esta longitud atraviesa la mitad del átomo en un vértice, la longitud total del átomo del punto medio y la mitad del átomo en el otro vértice, y dado que está garantizado que los átomos se tocan en el ⟨ 111 ⟩ dirección entonces esto cubre completamente la longitud de la diagonal, dándote
L = r + 2 r + r = 4 r .
Juntando los dos se obtiene a = 4 r / 3 .

Ya veo, esa es una derivación clara, gracias. ¿Por casualidad ves el error en mi intento?
@Steeven Para ser honesto contigo, no puedo entender el funcionamiento de la pregunta.

Tu error es asumir que el triángulo azul tiene un ángulo recto. El triángulo no está en el plano horizontal. El átomo de la derecha está encima de los otros dos. Las dos líneas azules que consideras como lados de un ángulo recto son en realidad segmentos de las diagonales del cuerpo. El ángulo entre ellos es de unos 109 grados.

¡Bienvenido a Physics.SE! Sugiero lo siguiente: 1) ¡Toma el tour ! 2) Cuando vea buenas preguntas y respuestas, vótelas haciendo clic en los triángulos grises , porque la credibilidad del sistema se basa en la reputación ganada por los usuarios que comparten su conocimiento. 3) Si tienes una buena pregunta, ¡hazla! Simplemente busque duplicados y siga las reglas del centro de ayuda .
¿Cómo se deriva el contenido de red en una celda unitaria bcc?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v