Índices de Miller para sistemas de cristales hexagonales

Del diagrama es obvio que el índice de Miller-Bravais tiene información redundante, ya que los índices apuntan a lo largo de tres direcciones separadas por 120°. Eso significa que puedes hacer una derivación geométrica simple usando este diagrama como guía:

La tercera ecuación se sigue inmediatamente de la suma vectorial de$\vec u$y$\vec v$- puedes ver eso$\vec t$apunta en la dirección opuesta.

Es igualmente obvio que, en la forma en que hice el dibujo,$\vec u = \vec{v'} + \frac12 \vec{u'}$y$\vec v = \frac12 \vec{u'} - \vec v'$

La simple manipulación de estas ecuaciones lo lleva a las expresiones que cita.

En un sistema de cristal hexagonal, al igual que en cualquier otro sistema tridimensional, cada vector se puede representar en una base que consta de 3 vectores linealmente independientes. Por lo tanto, 3 de estos vectores serían suficientes para describir cualquier dirección que queramos en un cristal.

La siguiente imagen muestra una celda unitaria hexagonal con 4 ejes (representados por vectores):$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$,$\vec{a_3}$y$\vec{z}$, utilizado para indexar direcciones en un cristal. Vectores$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$y$\vec{a_3}$son$\mathit{not}$independiente linealmente. Convencionalmente, elegimos$\vec{a_3}$ser el vector "extra", y$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$, y$\vec{z}$los vectores "principales", comunes a los sistemas de 4 y 3 índices.

el vector$\vec{a_3}$Se define como$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, lo que nos da cierta intuición para requerir$t = -(u+v)$ser obedecida, ya que u,v y t son componentes a lo largo$\vec{a_1}, \vec{a_2}$y$\vec{a_3}$, respectivamente. Podríamos haber usado una relación diferente entre$u$,$v$y$t$, pero esta es la más directa (necesitamos una ecuación extra para que las componentes del vector sean únicas ya que$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$y$\vec{a_3}$no son linealmente independientes).

La diferencia entre las representaciones de 3 índices (denotado por [u'v'w']) y 4 índices (denotado por [uvtw]) es que cuando usamos 3 índices, ignoramos el vector$\vec{a_3}$, y solo uso$\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$y$\vec{z}$(el$\mathit{same}$ $\vec{a_1}$,$\vec{a_2}$y$\vec{z}$en$\mathit{both}$representaciones - la única diferencia es tener o no tener$\vec{a_3}$). Darse cuenta de$\vec{a_1}$y$\vec{a_2}$son$\mathbf{not}$ortogonal. En cambio, hacen un$120^\circ$ángulo, por lo que no son los habituales$\hat{x}$y$\hat{y}$vectores, sino aquellos que respetan la simetría del cristal.

Ahora, cualquier vector$\vec{v}$se puede escribir en ambas representaciones (nuevamente, tenga en cuenta que la única diferencia entre los dos es$\vec{a_3}$presente en notación de 4 índices y ausente en notación de 3 índices):

$$\vec{v} = u'\vec{a_1} + v'\vec{a_2} + w'\vec{z} \tag{1} \label{1}$$ y $$\vec{v} = u\vec{a_1} + v\vec{a_2} + t\vec{a_3} + w\vec{z} \tag{2} \label{2}$$

Como$\vec{a_3} = -\left(\vec{a_1} + \vec{a_2}\right)$, insertando esto en la ecuación$\eqref{2}$obtenemos:

$$\vec{v} = (u-t)\vec{a_1} + (v-t)\vec{a_2} + w\vec{z}$$

sustituyendo$t = -(u+v)$obtenemos más

$$\vec{v} = (2u+v)\vec{a_1} + (2v+u)\vec{a_2} + w\vec{z} \tag{3} \label{3}$$

Igualando las componentes a lo largo de los mismos vectores de$\eqref{3}$y$\eqref{1}$obtenemos

$$\begin{aligned} u' &= 2u+v\\ v' &= 2v+u\\ w' &= w \end{aligned}$$

Asumiendo$u'$,$v'$y$w'$son conocidos, podemos resolver el sistema para$u$,$v$y$w$y obtener

$$\begin{aligned} u &= \frac{1}{3} \left(2u'-v'\right)\\ v &= \frac{1}{3} \left(2v'-u'\right)\\ t &= -\left(u+v\right)\\ w &= w' \end{aligned}$$ como se desee.