¿Cómo se asegura que la acción efectiva incluye todas las posibles correcciones cuánticas a la acción clásica?

Considere una teoría de campo escalar clásica para un campo escalar real$\phi$dada por

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-V(\phi)$$ dónde $V(\phi)$es el potencial clásico. En la teoría cuántica de campos, se define un potencial efectivo $V_{eff}(\phi)$. Y a diferencia de la teoría de campos clásica donde la ruptura de simetría espontánea (SSB) se analiza minimizando $V(\phi)$, SSB en la teoría cuántica de campos se analiza minimizando $V_{eff}(\phi)$.

Para ello, se define un nuevo funcional$\Gamma[\phi]$, denominada acción efectiva . Intuitivamente, el nombre sugiere que$\Gamma[\phi]$debe ser una modificación a la acción clásica$S[\phi]$cuando se tienen en cuenta las correcciones cuánticas. De hecho, cuando uno calcula$\Gamma[\phi]$, Se obtiene

$$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\text{quantum corrections of O($\hbar$)}.$$ Pero eso puede o no contener todas las correcciones posibles.

Sin embargo,$\Gamma[\phi]$no se define como

$$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\text{all possible quantum loop corrections}\tag{1}$$ pero como $$\Gamma[\phi]=W[J]-\int d^4x j(x)\phi(x).$$

A partir de esta definición, ¿cómo se puede estar tan seguro, en general, de que la evaluación de$\Gamma[\phi]$da todas las correcciones cuánticas posibles a$S[\phi]$en poderes de$\hbar$y no queda nada? En otras palabras, ¿hay alguna manera de mostrar/ver que$(1)$se cumple para un potencial genérico$V(\phi)$?