Tengo una duda sobre la métrica Painlevé-Gullstrand (PG) con factor 2

No, en general, los diferenciales no son realmente una "multiplicación" como tal (puedo analizarlo si lo desea). Entonces, cuando expandes, necesitas escribir

Puede escribir el elemento de línea con este ansatz general:

$ds^2=\begin{bmatrix} dT & dr \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{00} & g_{01} \\ g_{01} & g_{11} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dT \\ dr \\ \end{bmatrix} \qquad (1)$

la métrica$g_{\mu\nu}$debe ser simétrico!

de la ecuación (1) obtenemos:

$ds^2=g_{00} \,dT^2+2\,dT\,dr\,g_{01}+g_{11}\,dr^2$

Ahora compare los coeficientes con su elemento de línea:

$g_{00}=\frac{r_s}{r}-1$

$2\,g_{01}=2\sqrt{\frac{r_s}{r}}$

$g_{01}=\sqrt{\frac{r_s}{r}}$

$g_{11}=1$

No, los componentes métricos fuera de la diagonal son$g_{rT}=g_{Tr}=\sqrt{\frac{r_s}{r}}$sin un factor de 2.