Cambio de signo de coordenadas métricas de Schwarzschild en 0≤r≤2GM0≤r≤2GM0\leq r \leq 2GM

En coordenadas de Schwarzschild, el cambio de signo de la$g_{00}$y$g_{11}$componentes de la métrica significa que, en cierto sentido,$t$se convierte en una coordenada "espacial" y$r$uno "temporal": el "futuro" apunta hacia la disminución$r$en lugar de aumentar$t$, puede ver que mirando los conos de luz en las coordenadas de Schwarzschild, vea por ejemplo esta figura

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild (de MTW , página 848)

Además, dentro de la superficie$r = r_\text{S} = 2M$no puedes tener un positivo$\mathrm{d}s^2$sin un no nulo$\mathrm{d}r^2$debido al cambio de signo, por lo que dentro de un agujero negro de Schwarzschild tienes que moverte. Esto, nuevamente, se puede ver usando los conos de luz de arriba: la línea de palabras no puede mantenerse constante$r$.

El hecho de que después de haber cruzado el horizonte de sucesos los conos de luz apunten hacia el$r = 0$la singularidad también es cierta usando otras coordenadas, como las coordenadas de Kruskal-Szekeres

Métrica de Schwarzschild en coordenadas Kruskal-Szekeres (ver la definición completa de las coordenadas en el artículo de Wikipedia ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \frac{4r_{\text{S}}^{3}}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\text{S}}}(\mathrm{d}v^{2} - \mathrm{d}u^{2}) - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas Kruskal-Szekeres. El$r = 0$la región es la que tiene el borde dentado hacia adentro (de MTW , página 848)

y coordenadas de Eddington-Finkelstein

Métrica de Schwarzschild en coordenadas de Eddington-Finkelstein (ver la definición completa de las coordenadas en el artículo de Wikipedia ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \biggl(1 - \frac{r_{\text{S}}}{r}\biggr)\mathrm{d}\tilde{v}^{2} - 2\mathrm{d}\tilde{v}\mathrm{d}r - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas Eddington-Finkelstein (de MTW , página 849)

El cambio de signo tiene un significado físico en las coordenadas de Schwarzschild porque Schwarzschild$t$y$r$las coordenadas tienen significados físicos ($t$es el tiempo lejano ,$r$la circunferencia reducida ), mientras que no estoy al tanto de ningún significado físico simple de Kruskal-Szekeres$u$y$v$coordenadas o de la Eddington-Finkelstein$\tilde{v}$coordinar. Tenga en cuenta que$u$,$v$y$\tilde{v}$coordina mezcla el Schwarzschild original$t$y$r$coordenadas Dependiendo de las coordenadas utilizadas, no siempre hay un cambio de signo en los componentes métricos (en las coordenadas de Kruskal-Szekeres no hay ningún cambio de signo), así que no tomes ese cambio como una regla general.

El tensor métrico de Kerr , con coordenadas de Boyer-Lindquist (brevemente descrito en esta introducción al espacio-tiempo de Kerr por Matt Visser), dice

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} (\Delta - a^{2}\sin^{2}\theta)\Sigma^{-1} & 0 & 0 & a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta \\ 0 & -\Delta^{-1}\Sigma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Sigma & 0 \\ a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta & 0 & 0 & -\bigl((r^{2} + a^{2}) + a^{2}\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta\bigr)\sin^{2}\theta \end{pmatrix} \end{equation}$$ con $$\begin{align} \Delta &= r^{2} - r_{\text{S}}r + a^{2}, \\ \Sigma &= r^{2} + a^{2}\cos^{2}\theta. \end{align}$$ El$g_{00}$componente cambia su signo en las superficies $$r_{\text{E}}^{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}\cos^{2}\theta}$$ En cambio,$g_{11}$cambia de signo en las superficies $$r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}}$$ que determinan el exterior (con$+$signo) y el interior (con$-$signo) horizontes de sucesos. Entonces cambian su signo en dos superficies diferentes. Como Jerry Schirmer señaló en un comentario , esto ocurriría también en la geometría de Schwarzschild con coordenadas no diagonales similares a las de Kerr (por ejemplo, ocurre con las coordenadas de Eddington-Finkelstein). Esto no significa que la firma de la métrica cambiará: siempre habrá un valor propio negativo (positivo) y otros tres valores propios positivos (negativos). En un tensor métrico no diagonal (como el de Schwarzschild en coordenadas de Eddington-Finkelstein o el de Kerr en coordenadas de Boyer-Lindquist), los componentes diagonales del tensor métrico no son necesariamente los valores propios.