(¿Por qué) es necesario invocar la Gravedad Newtoniana para fijar constantes de normalización en la Relatividad General?

No lo es. Puedes arreglar al 100% la constante gravitacional usando experimentos. Una forma sencilla de ver esto es elegir un experimento clásico de caída libre. Aquí está la versión con solo una constante sin nombre$\kappa$dónde

$$G_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$$

Si considera la tierra como una fuente de métrica de Kerr, entonces, despreciando el momento angular (que es bastante pequeño), terminaremos con la métrica de Schwarzschild

$$ds^2 = -(1 - \frac{r_S}{r}) c^2 dt^2 + (1 - \frac{r_s}{r})^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$

$r_s$es el radio de Schwarzschild, algún parámetro de la métrica. Para calcularlo, realizamos el análisis de la masa de Komar. Si vamos al 100% sin constantes definidas de teorías anteriores, escribamos la masa de Komar como proporcional a alguna constante.

$$M = -\alpha \int_S dA n_\mu \sigma_\nu \nabla^\mu \xi^\nu$$

con$\xi$el vector temporal Killing normalizado (simplemente elegiremos$c\partial_t$),$\sigma$el vector normal a la superficie de Cauchy, y$n$el vector normal a la superficie de integración. El constante$\alpha$está relacionado con la constante$\kappa$ya que la integral de Komar se escribe alternativamente en términos del tensor tensión-energía

$$M = -\alpha \int_\Sigma R_{\mu\nu} n^\mu \xi^\nu = -\alpha \kappa \int_\Sigma (T_{\mu\nu} + \frac 12 T g_{\mu\nu}) n^\mu \xi^\nu dV$$

realmente querremos$M$ser de la misma dimensión que la masa. Desde$T$tiene la dimensión de una densidad de energía, queremos$\alpha = \beta / c^2 \kappa$por alguna constante$\beta$.

Luego, tomando la superficie de constante$t$y$r$como$S$, obtenemos

$$M = -\alpha \int_S r^2 \sin \theta d\theta d\varphi \nabla^r\xi^t$$

$\nabla^r\xi^t$tiene para sólo un término distinto de cero$c g^{rr} \Gamma^t_{rt}$, que es igual a$c g^{rr} g^{tt} g_{tt,r}/2 = -c r_S/2r^2$, entonces

$$M = -\alpha \int_S \sin \theta d\theta d\varphi c r_s = 8\pi c \alpha r_S$$

Entonces podemos escribir$r_S = M / 8\pi c \alpha = M \kappa / 8\pi \beta c$.

La ecuación geodésica para un movimiento puramente radial será entonces

$$c^{-2} \dot r^2 + (1 - \frac{r_S}{r}) = E^2$$

Expandiendo el$r^{-1}$término alrededor$R_\oplus$, el radio de la tierra, obtenemos

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{R_\oplus} - \frac{r - R_\oplus}{R_\oplus^2} + \mathcal O(R_\oplus^{-3})$$

Esto te dará la ecuación, cortando el término más pequeño,

$$c^{-2} \dot r^2 + \frac{r_S}{R_\oplus^2} r = E^2 - 1 + \frac{2r_S}{R_\oplus}$$

Si tomas la derivada temporal adecuada,

$$c^{-3} \ddot r \dot r + 2 \frac{r_S}{cR_\oplus^2} \dot r= 0$$

o en otras palabras,

$$\ddot r = - 2 c^2 \frac{r_S}{ R_\oplus^2}$$

La clásica ecuación de caída libre, que puedes comprobar experimentalmente. Si desea obtener resultados menos clásicos, por supuesto, deberá resolver la ecuación geodésica correctamente, lo que no creo que se pueda hacer analíticamente (las simulaciones numéricas servirán allí).

Notarás que esta ecuación tiene la dimensión y el signo correctos. A continuación, podemos volver a introducir la expresión de$r_S$

$$\ddot r = - 2 c^3 \frac{M \kappa}{8\pi \beta R_\oplus^2}$$

creo que algunos$c$Es posible que se haya perdido en la confusión, pero puede ver que globalmente, obtenemos aproximadamente lo que estábamos buscando: la caída libre de un objeto depende de algunas constantes que, si tuviera que ordenar un poco todas las diversas constantes, resultaría ser$G$.

(En primer lugar, el punto de la terminología: en estos días, "clásico" generalmente se usa para significar "no cuántico", y "gravedad clásica" y "relatividad general" a menudo se usan indistintamente. Sería más estándar referirse al límite no relativista. a la que te refieres como "gravedad newtoniana").

Las ecuaciones de campo de Einstein (sin una constante cosmológica) dicen que el tensor de Einstein y el estrés-energía son proporcionales, ni más ni menos. Lo que queremos que sea la constante proporcional depende totalmente de nosotros.

Si hubiéramos sabido acerca de GR cuando desarrollamos nuestro sistema de unidades físicas, habríamos elegido que la constante de proporcionalidad fuera$1$. En su lugar, por accidente histórico, hemos optado por utilizar unidades definidas en términos de cosas arbitrarias, como una barra de platino en particular que se encuentra en una bóveda en París, y el tiempo que tarda la Tierra en girar. (Más exactamente, en las últimas décadas hemos redefinido esas unidades en términos de cantidades físicas verdaderas como la velocidad de la luz y los átomos de cesio, pero con extrañas constantes de proporcionalidad elegidas para que coincidan con la antigua barra de platino y la rotación de la Tierra).

Si decidimos mantener la masa, la longitud y el tiempo como unidades base separadas (lo que nos impide establecer la constante de proporcionalidad en$1$), entonces la constante de proporcionalidad es simplemente un parámetro libre que ciertamente se puede medir directamente sin referencia a la ley de gravitación universal de Newton. Llámalo$\kappa$.

Es un ejercicio útil para mostrar que en el límite no relativista (un término que, por supuesto, debe definirse cuidadosamente), la ecuación de Einstein implica que una partícula no relativista de masa$M$atrae todas las demás partículas no relavísticas hacia él con una aceleración

$$|{\bf a}| = \frac{\kappa}{8 \pi} \frac{M}{r^2},$$

dónde$r$es la distancia a la partícula atraída. Esta es simplemente la ley de gravitación universal de Newton si dejamos$G = \kappa / (8 \pi)$. Este es un ejercicio útil en GR (y, por supuesto, fue una prueba de cordura crucial antes de que tuviéramos pruebas experimentales directas de GR), pero el hecho de que el prefactor termine siendo$\kappa / (8 \pi)$no es terriblemente interesante o significativo. (Por ejemplo, no es cierto en otros números de dimensiones). Entonces, de hecho, es la ecuación de Einstein la que determina la forma de la ley de gravitación universal de Newton, y no al revés.

La razón por la que generalmente establecemos la constante de proporcionalidad igual a$8 \pi G$en lugar de simplemente llamarlo$\kappa$o algo se reduce nuevamente a un accidente histórico: ya teníamos una constante medida con precisión con las unidades correctas que estaba relacionada con la gravedad, así que simplemente la reutilizamos. Nada profundo allí.

Cuando desarrollamos una teoría, es necesario que se reduzca a las teorías que observamos en ciertos regímenes. En este caso, debemos asegurarnos de que la teoría gravitatoria derivada de las ecuaciones de Einstein coincida con cualquier teoría que tengamos en el límite de los cuerpos lentos y los campos gravitatorios débiles (es decir, la gravedad newtoniana). Aquí es donde el factor de$8\pi G/c^4$proviene de las ecuaciones de Einstein.

Para responder a la esencia de su pregunta, no esperamos que GR sea autónomo. En cualquier teoría que acople el espacio-tiempo a la materia, debemos indicar qué tan fuerte es este acoplamiento. Las diferentes constantes de acoplamiento (es decir, diferentes valores de G) conducirán a diferentes resultados cuantitativos de las mediciones en el límite newtoniano. Para solucionar esto, simplemente comparamos los resultados que obtenemos a bajas energías con el límite de baja energía de nuestra teoría. Este es un tema increíblemente común en la física. Usamos "sugerencias" de la física de baja energía para fijar los requisitos en nuestra teoría de alta energía.

Es útil notar que GR es relativamente único. Se deriva del postulado de que$G_{\mu\nu}\propto T_{\mu\nu}$para algún tensor$G$. Entonces, requerimos que$G$contiene como máximo derivadas de segundo orden de$g$, y que se conserva covariantemente (desde el tensor de momento de energía). Esto fija efectivamente las ecuaciones de Einstein a una constante de proporcionalidad, que nuevamente derivamos de nuestros experimentos de baja energía.

¡Espero que esto haya ayudado!

¿Es realmente necesario utilizar resultados clásicos?

Por supuesto. Cualquier nueva teoría en física debe replicar las teorías actuales en aquellas áreas donde esas teorías actuales ya hacen un muy buen trabajo al predecir comportamientos. Esto también es cierto en la mecánica cuántica.

La gravedad newtoniana predice comportamientos bastante bien en el límite de densidades pequeñas, distancias grandes y velocidades pequeñas, con una discrepancia muy pequeña de las observaciones con respecto a la órbita de Mercurio. La relatividad general tiene que explicar el comportamiento casi newtoniano de los planetas exteriores y explicar esa pequeña discrepancia en la órbita de Mercurio. Hace ambas cosas. La explicación de la precesión anómala de Mercurio es una consecuencia natural de la relatividad general. Pero igualar el comportamiento casi newtoniano de los planetas exteriores se hizo por diseño.