¿Cómo reducen exactamente las supercuerdas el número de dimensiones en la teoría de cuerdas bosónicas de 26 a 10 y eliminan los taquiones?

En primer lugar, la dimensión crítica. Hay muchas formas (aparentemente formas no equivalentes pero en última instancia destinadas a dar el mismo resultado) para calcular$D=10$para la supercuerda que refleja los métodos para calcular$D=26$para la cuerda bosónica.

Para la cuerda bosónica, se puede usar una teoría de láminas universales conformemente invariantes. Debido a la simetría conforme residual, tiene que tener$bc$fantasmas El cargo central de la$bc$el sistema es$c=1-3k^2$dónde$k=2J-1$dónde$J$es la dimensión de la$b$antifantasma, en este caso$J=2$. Ves que mis fórmulas implican$k=3$y$c=1-27=-26$por lo que hay que sumar 26 bosones, es decir, 26 dimensiones del espacio-tiempo, para obtener$c=0$en total.

Ahora, para la supercuerda, las simetrías locales en la hoja del mundo se realzan del grupo conforme ordinario al$N=1$grupo superconforme. Uno necesita agregar el$\beta\gamma$fantasmas (bosónicos) para los nuevos generadores (fermiónicos). su dimensión es$J=3/2$, diferente de$J=2$de$bc$por$1/2$, como es habitual en la diferencia de espín de cosas relacionadas por supersimetría. ves eso$k=2J-1=2$y$3k^2-1=12-1=11$. Ahora, el cargo central de$\beta\gamma$es$3k^2-1$y no$1-3k^2$, el signo es el contrario, porque son bosones.

Entonces el$bc$y$\beta\gamma$tener$c=-26+11=-15$. Este menos quince debe ser compensado por 10 campos bosónicos y 10 campos fermiónicos (cuyos$c=1/2$por dimensión: tenga en cuenta que un fermión es la mitad de un bosón) y$10+10/2=15$para que el total$c=0$. Si algunos de los pasos anteriores no son comprensibles, es casi seguro que el lector no está familiarizado con los conceptos básicos de la teoría de campos conformes y no es posible explicar la teoría de campos conformes sin la teoría de campos conformes. Es un tema completo, no algo que deba escribirse como una respuesta en este servidor.

En este formalismo con los fermiones de la hoja del nuevo mundo$\psi^\mu$transformándose como vectores de espacio-tiempo, uno tiene que proteger la relación spin-estadística. Los fermiones similares a vectores lo violan, por lo que solo se permiten en pares. Esto se logra mediante la proyección GSO; bueno, en realidad hay dos proyecciones GSO, una separada para los que se mueven a la izquierda y otra para los que se mueven a la derecha. Solo 1/4 de los estados se mantienen en el espectro. La proyección es la otra cara de tener cuatro sectores: los fermiones que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha pueden ser periódicos o antiperiódicos de forma independiente. Escribí sobre la proyección de la OSG hace un mes:

http://motls.blogspot.com/2012/11/david-ian-olive-1937-2012.html?m=1

Una vez más, si algo es incomprensible e incompleto, es porque en realidad no es una idea aislada que un profano pueda entender a partir de una oración. Es uno de los muchos resultados técnicos que se derivan de un gran tema, la teoría de cuerdas, que debe estudiarse sistemáticamente si uno quiere entenderlo.

En mi opinión, la mejor manera de verlo es usar el worldsheet CFT como ya se ha explicado. Pero también puede usar el medidor de cono de luz para derivar la dimensión crítica al requerir la invariancia de Lorentz tal como en el caso bosónico.

Es posible que sepa que los estados de la supercuerda se dividen en un sector NS y un sector R según las condiciones de contorno de los campos de la hoja mundial. El sector R tiene modos bosónicos enteros y el sector NS tiene modos fermiónicos semienteros.

Ahora, al igual que en la cuantificación del cono de luz para la cuerda bosónica, debemos imponer la desaparición del modo cero del álgebra de Virasoro. Sin embargo, aquí también hay una supercorriente cuyo modo cero deberá desaparecer en los estados físicos. Pero, la supercorriente solo tendrá un modo cero en el sector R porque tiene modos semienteros en el sector NS.

En el sector NS tenemos un estado fundamental, que será un taquión que es eliminado por la proyección OSG. El primer estado excitado se obtiene actuando sobre el estado fundamental con el operador$\psi_{-1/2}^i$. Al igual que en el caso bosónico, el primer estado excitado se transforma en un$SO(D-2)$vector, lo que significa que este estado debe ser sin masa para que la teoría sea invariante de Lorentz. Además, como en el caso bosónico, esto corrige la constante de orden normal para el modo cero de Virasoro, excepto que ahora es 1/2.

En la cuerda bosónica haríamos un cálculo explícito de la constante de orden normal para relacionarla con la dimensión del espacio-tiempo y usarla para determinar la dimensión crítica. Sin embargo, aquí se puede utilizar la desaparición de la supercorriente en el sector R.

La supercorriente está dada por$J=\psi^\mu \partial X^\mu$por lo que no puede haber una constante de orden normal. Además, el álgebra super-Virasoro dice

$$\{J_0,J_0\} = 2\left(L_0-\frac{D-2}{16}\right)$$ Entonces, la compatibilidad con la desaparición de $L_0-1/2$requiere que $D=10$.

En cuanto al taquión, mencioné que es eliminado por la proyección GSO, que elimina todos los estados en el sector NS con número par de fermiones.