¿Cómo puedo triangular una posición usando dos DME?

Podemos encontrar el método exacto para usar en línea, después de todo, este es un problema común de trigonometría 3D. Usaré el informe del Departamento de Transporte de EE. UU. de Michael Geyer: Análisis de vigilancia y navegación de aeronaves con referencia a la Tierra . El principio es:

• Las dos distancias DME determinan dos esferas cuya intersección es un círculo. El avión está en este círculo.

• La altitud del avión determina una superficie (dependiendo de cómo se mida la altitud, puede ser un cuasi-plano o una superficie de presión constante ) que corta el círculo en dos puntos. Las coordenadas de los puntos se pueden calcular a partir de las dos distancias DME y la altitud.

• De hecho, las señales DME en los dos puntos son idénticas, por lo que una debe eliminarse mediante algún método.

Nota: Históricamente , la triangulación se basaba en valores de ángulos medidos, los métodos estrictamente basados ​​en rangos medidos (o pseudorango, es decir, rangos con un error desconocido pero constante, como para GNSS) a menudo se denominan lateración , por ejemplo, trilateración cuando se usan tres puntos.

Intersecar dos esferas para obtener un círculo.

La distancia oblicua determinada con DME nos dice que la aeronave está en la superficie de una esfera centrada en la estación DME, con un radio igual a la distancia oblicua. Al interrogar a dos DME, se determinan dos esferas que se cruzan. La intersección es un círculo (círculo rosa en la figura de abajo). Cuanto más cerca esté la aeronave de la línea que une las dos estaciones DME (la línea de base ), más pequeño será el círculo, hasta llegar a un solo punto cuando la aeronave esté exactamente en la línea de base.

Interseca el círculo con una superficie para obtener dos puntos.

El avión vuela en un plano casi horizontal. Este plano intersecta el círculo en dos ubicaciones (puntos verdes en la figura anterior) que son simétricas a la línea de base y donde debe ubicarse la aeronave. Usando la información directa que tenemos (rango de altitud e inclinación), podemos calcular las coordenadas de los dos puntos.

Eliminar la ubicación fantasma

En un momento dado, la aeronave podría ubicarse en cualquiera de los dos puntos y seguir recibiendo las mismas señales DME. En la solución matemática, esto aparecerá al usar una función como$\arcsin(x)$, que da dos ángulos para el mismo valor de x, por ejemplo, 40° (90°-50°) y 140° (90°+50°).

Existen varios métodos para eliminar la posición virtual:

• Controle el progreso de la aeronave: si la aeronave vuela hacia el norte, el punto superior se mueve hacia el norte mientras que el punto inferior se mueve hacia el sur. Podemos detectar dicha trayectoria ilógica (por ejemplo, usando un filtro de Kalman predictivo ).

• Use un tercer DME: la esfera del tercer rango se cruzará con las otras dos en un solo punto.

• Determine el rumbo de la aeronave usando un VOR, preferiblemente ubicado junto con uno de los DME.

En aeronaves grandes, la posición se determina utilizando múltiples medios, incluidos inerciales y GNSS, por lo que no es difícil saber dónde se encuentra aproximadamente la aeronave.

Determinación de las coordenadas de los puntos

El caso DME/DME/Elevation se reduce a:

• Dos estaciones DME$\small U$y$\small S$con latitudes, longitudes y altitudes conocidas ($\small L_U$,$\small \lambda_U$,$\small h_U$y$\small L_S$,$\small \lambda_S$,$\small h_S$).
• Una aeronave A con altitud conocida ($\small h_A$).
• Dos distancias oblicuas medidas ($\small d_{UA}$y$\small d_{SA}$)

$\small C$es el centro de la tierra (el radio de la tierra es$\small R_e$. Siguiendo el método mencionado anteriormente, ejecutamos estos pasos:

• Paso 0: convertir rangos inclinados a distancia angular
• Paso 1: Resuelve el triángulo esférico para cada estación
• Paso 2: Confirme que las entradas sean consistentes y que exista una solución
• Paso 3: Resuelve el triángulo esférico USA
• Paso 4: Calcular la latitud y longitud de la aeronave

Paso 0: convertir rangos inclinados a distancia angular

Con altitudes y rangos de inclinación conocidos, es posible calcular ángulos$\small \theta_{SA}$($\small \widehat{SCA}$) y$\theta_{UA}$($\small \widehat{UCA}$) entre el DME y la aeronave. Para cada DME$\small x$($\small x$siendo cualquiera$\small U$o$\small S$):

$$\theta_{xA} = 2\space \arcsin \left( \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(d_{xA}-h_A+h_x)(d_{xA}+h_A-h_x)}{(R_e+h_x)(R_e+h_A)}} \right)$$

Por convención necesitamos nombrar$\small U$la estación que está hacia el oeste. Esto nos permite referirnos a la posición de la aeronave como "la que está al sur de la línea de base".

Paso 1: Resuelve el triángulo esférico para cada estación

El primer paso real es obtener el ángulo$\small \theta_{US}$formado por las dos estaciones DME y centro tierra:

$$\sin \left( \frac{1}{2}\theta_{US} \right) = \sqrt {\sin^2 \left( \frac{1}{2}(L_S-L_U) \right) + \cos(L_S) \cos(L_U) \sin^2 \left( \frac{1}{2}(\lambda_S-\lambda_U) \right)}$$

donde$\small L_U$y$\small L_S$son latitudes de$\small U$y$\small S$y$\small \lambda_U$y$\small \lambda_S$son longitudes de$\small U$y$\small S$.

Necesitaremos conocer uno de los acimutes en los extremos de la línea de base entre$\small U$y$\small S$:

$$\tan(\psi_{S/U}) = \frac {\cos(L_S) \sin(\lambda_S - \lambda_U)} {\sin(L_S) \cos(L_U) - \cos(L_S) \sin(L_U) \cos(\lambda_S - \lambda_U)}$$

Paso 2: Confirme que las entradas sean consistentes y que exista una solución

Si los rangos de inclinación son de 10 NM y 15 NM, y la distancia conocida entre estaciones es de 30 NM, entonces no hay una solución real, algo debe estar mal. Este paso comprueba si las dos esferas de rango DME se cruzan. Ya hemos calculado los ángulos.$\small \theta_{UA}$y$\small \theta_{SA}$y el de entre estaciones$\small \theta_{US}$:

• Si$\small \theta_{UA} + \theta_{SA} < \theta_{US}$, entonces las esferas no se cruzan (centros demasiado alejados)
• Si$\small \left| \theta_{UA} - \theta_{SA} \right| > \theta_{US}$, entonces las esferas son concéntricas, no se cortan.

Paso 3: Resuelve el triángulo esférico USA

Ahora sabemos los tres lados del triángulo.$\small \widehat{USA}$, podemos determinar cualquiera de sus ángulos. Solo necesitamos el ángulo con su vértice en una estación:

$$\cos(\beta_U) = \frac {\cos(\theta_{SA}) - \cos(\theta_{US}) cos(\theta_{UA})} {\sin(\theta_{US}) \sin(\theta_{UA})}$$

Paso 4: con todos los datos ahora disponibles, calcule la latitud y longitud de la aeronave

Es hora de decidir cuál de las dos posiciones de la aeronave queremos seleccionando el ángulo de acimut correspondiente en la estación$\small U$(podría ser en$\small S$, pero hicimos el paso anterior para$\small U$):

• Si$\small A$está al sur de$\small US$línea de base (asumiendo$\small U$está al oeste de$\small S$):$\small \psi_{A/U} = \psi_{S/U} + \beta_U$

• Si$\small A$está al norte de$\small US$base:$\small \psi_{A/U} = \psi_{S/U} - \beta_U$

Latitud de la aeronave$\small L_A$:

$$\sin(L_A) = \sin(L_U) \cos(\theta_{UA}) + \cos(L_U) \sin(\theta_{UA}) \cos(\psi_{A/U})$$

Longitud de la aeronave$\small \lambda_A$:

$$\tan(\lambda_A - \lambda_U) = \frac {\sin(\psi_{A/U}) \sin(\theta_{UA})} {\cos(L_U) \cos(\theta_{UA}) - \sin(L_U) \sin(\theta_{UA}) \cos(\psi_{A/U})}$$

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