¿Cómo puedo determinar el coeficiente kkk en dTdt=−k(T−100∘C)dTdt=−k(T−100∘C) \dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\ círculo C}) ?

Question

¿Cómo puedo determinar el coeficiente kkk en dTdt=−k(T−100∘C)dTdt=−k(T−100∘C) \dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\ círculo C}) ?

O en

Hace poco dediqué un tiempo a cocinar y tengo curiosidad por la evolución temporal de la temperatura del agua. Hice un experimento y la temperatura es de la forma

T = 100^{\circ} C + (T (t_{0}) - 100^{\circ} C) {mi}^{- k (t - t_{0})}

$T = 100 \mathrm{^\circ C} + (T(t_0) - 100 \mathrm{^\circ C}) e^{-k(t - t_0)}$ para alguna constante positiva

k

$k$ de alguna manera (por ejemplo, vea mi publicación anterior y mi respuesta ). En otras palabras,

\frac{d T}{d t} = - k (T - 100^{\circ} C) .

$\dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\circ C}).$

Mi pregunta: ¿Cómo puedo determinar el coeficiente $k$ ? Por supuesto, puedo determinarlo mediante experimentos como se muestra a continuación. Pero lo que quiero hacer es entender esto como una función del volumen de agua. $V$ , potencia del calentador $P$ , y algunas otras variables relacionadas con un bote. Entonces, mi respuesta esperada es algo así como "Si el volumen (potencia) es $n$ veces mayor que el coeficiente es $n$ veces ( $1/n$ veces) más grandes".

Aquí están los datos experimentales y los gráficos de ajuste . ( $V$ el agua está en la misma olla con un radio de 9 cm y calentada por IH corresponde al poder $P$ . Mido su temperatura cada 30 segundos.)

Mi objetivo es determinar a priori la evolución temporal de la temperatura del agua. Entonces, si otro enfoque es mejor, por favor dígame. Agradecería si me ayudas. Gracias.

Alan Romero

Estoy tratando de responder, pero me preocupa que pueda haber alguna iteración en esta pregunta. En primer lugar, ¿qué están haciendo los 100 grados allí? Está utilizando la ley de calentamiento/enfriamiento de Newton, y las dos temperaturas relevantes son la del agua y la del aire. Además, necesitará una nueva forma de esa ecuación que incluya la entrada de calor adicional. Una complicación es que realmente no puedes creer la cantidad de vatios, porque no todos llegan al bote. Eso da 2 variables independientes, pero deberíamos poder resolverlas 1 por 1.

Miguel

Lo que dijo AlanSE y también: ¿Cómo determinaste

β

$\beta$ ? Tus números parecen incorrectos. más grande

β

$\beta$ corresponde a un aumento de temperatura más rápido, pero sus números van en sentido contrario. Además, solo por el aspecto de sus datos, no puede reclamar ni cerca de tres cifras significativas. :) Una vez que identifique los parámetros importantes, probablemente podría obtener una estimación razonable para

β

$\beta$ simplemente por análisis dimensional.

O en

@AlanSE Pensé que el gráfico es lineal. Pero si es así, la temperatura supera los 100

^{\circ} C

$^\circ\mathrm{C}$ . Así que probé alguna otra función creciente acotada arriba por 100. Así es como se me ocurre. Luego, lo reescribo de forma de la ley de enfriamiento de Newton. Para la segunda parte, también lo pienso. Pero no estoy seguro de qué valores de calentamiento son primarios: uno escapó de un lado a través de una olla y el otro escapó de la superficie del agua. Así que traté de resolver el más simple pero me quedé atascado.

O en

@MichaelBrown Determino el

β

$\beta$ con temperatura de 0 segundos y 180 segundos. Pero es probable que mis experimentos estén equivocados. Solo lo hago con objetos comunes de cocina. No es exacto. Ya probé el análisis dimensional pero los parámetros importantes son desconocidos para mí (yo me especializo en matemáticas y no estoy familiarizado con este tipo de problemas).

abeto

Revisé sus datos y ajustes, y en mi opinión, su fórmula no se ajusta bien (sin barras de error en algunos lugares). Dado que el sistema está experimentando una transición obvia de un estado a otro (el agua comienza a hervir), tal vez podría lograr mejores ajustes si intentara dividir los datos en dos dominios (antes de hervir y dentro de la ebullición) y ajustarlos de forma independiente. , o con alguna condición coincidente en el borde de los dominios.

Respuestas (3)

¿Cómo puedo determinar el coeficiente kkk en dTdt=−k(T−100∘C)dTdt=−k(T−100∘C) \dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\ círculo C}) ?

Estoy tratando de responder, pero me preocupa que pueda haber alguna iteración en esta pregunta. En primer lugar, ¿qué están haciendo los 100 grados allí? Está utilizando la ley de calentamiento/enfriamiento de Newton, y las dos temperaturas relevantes son la del agua y la del aire. Además, necesitará una nueva forma de esa ecuación que incluya la entrada de calor adicional. Una complicación es que realmente no puedes creer la cantidad de vatios, porque no todos llegan al bote. Eso da 2 variables independientes, pero deberíamos poder resolverlas 1 por 1.
Lo que dijo AlanSE y también: ¿Cómo determinaste $\beta$ ? Tus números parecen incorrectos. más grande $\beta$ corresponde a un aumento de temperatura más rápido, pero sus números van en sentido contrario. Además, solo por el aspecto de sus datos, no puede reclamar ni cerca de tres cifras significativas. :) Una vez que identifique los parámetros importantes, probablemente podría obtener una estimación razonable para $\beta$ simplemente por análisis dimensional.
@AlanSE Pensé que el gráfico es lineal. Pero si es así, la temperatura supera los 100 $^\circ\mathrm{C}$ . Así que probé alguna otra función creciente acotada arriba por 100. Así es como se me ocurre. Luego, lo reescribo de forma de la ley de enfriamiento de Newton. Para la segunda parte, también lo pienso. Pero no estoy seguro de qué valores de calentamiento son primarios: uno escapó de un lado a través de una olla y el otro escapó de la superficie del agua. Así que traté de resolver el más simple pero me quedé atascado.
@MichaelBrown Determino el $\beta$ con temperatura de 0 segundos y 180 segundos. Pero es probable que mis experimentos estén equivocados. Solo lo hago con objetos comunes de cocina. No es exacto. Ya probé el análisis dimensional pero los parámetros importantes son desconocidos para mí (yo me especializo en matemáticas y no estoy familiarizado con este tipo de problemas).
Revisé sus datos y ajustes, y en mi opinión, su fórmula no se ajusta bien (sin barras de error en algunos lugares). Dado que el sistema está experimentando una transición obvia de un estado a otro (el agua comienza a hervir), tal vez podría lograr mejores ajustes si intentara dividir los datos en dos dominios (antes de hervir y dentro de la ebullición) y ajustarlos de forma independiente. , o con alguna condición coincidente en el borde de los dominios.

Alan Romero · Answer 1

La ley relevante es la conservación de la energía.

cambio en la energía térmica del agua = energía puesta - energía perdida en el aire

$\text{change in thermal energy of the water} = \text{energy put in} -\text{energy lost to air}$

Aplique la ley de enfriamiento de Newton para escribir la energía perdida en el aire. La entrada de energía del ojo es constante. Entonces el cambio de energía del agua es una cuestión de notación que estoy introduciendo.

\frac{d q}{d t} = \dot{q} = \dot{W} - A h (T (t) - T_{a i r})

$\frac{ d Q}{dt} = \dot{Q} = \dot{W} - A h \left( T(t) - T_{air} \right)$

También tenga en cuenta que a partir de la definición de calor específico, la energía en la olla es $Q = C_p m T$ , que ignora cualquier compensación, lo cual no es un problema porque todas las temperaturas pueden ser relativas.

\frac{d q}{d t} = \frac{d T}{d t} metro C_{pag} = \dot{W} + A h T_{a i r} - A h T (t)

$\frac{ d Q}{dt} = \frac{ dT}{dt} m C_p = \dot{W} + A h T_{air} - A h T(t)$

\frac{d T}{d t} = \frac{\dot{W}}{metro C_{pag}} + \frac{A h}{metro C_{pag}} T_{a i r} - \frac{A h}{metro C_{pag}} T (t)

$\frac{ dT}{dt} = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \frac{ A h }{ m C_p} T_{air} - \frac{ A h }{m C_p} T(t)$

Esta es la forma que yo quería, para poder sustituir en tu $\beta$ .

\frac{d T}{d t} = \frac{\dot{W}}{metro C_{pag}} + β T_{a i r} - β T (t)

$\frac{ dT}{dt} = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \beta T_{air} - \beta T(t)$

La sustitución que acabo de hacer define $\beta$ . En cuanto a la unidad, puede describir esto más a fondo. Pero en resumen, $h$ es el coeficiente de transferencia de calor específico del área.

Para crear experimentos útiles, veamos la solución de estado estacionario de esta ecuación.

β T (\infty) = \frac{\dot{W}}{metro C_{pag}} + β T_{a i r}

$\beta T(\infty) = \frac{\dot{W}}{m C_p} + \beta T_{air}$

Supongo que tienes una medida directa de la temperatura del aire y de la olla. Eso nos deja con dos incógnitas. no sabemos $\beta$ , y no estoy de acuerdo en que sepas $\dot{W}$ . Me veo obligado a tratarlo como un desconocido. En realidad, introduciría otra variable $\alpha =\frac{\dot{W}}{m C_p}$ .

β T (\infty) = α + β T_{a i r}

$\beta T(\infty) = \alpha + \beta T_{air}$

T (\infty) = \frac{α}{β} + T_{a i r}

$T(\infty) = \frac{ \alpha }{ \beta} + T_{air}$

Aunque no lo sepamos $\alpha$ , podría hacer uso de la linealidad que viene con él. En otras palabras, si usa 200 W y luego 400 W, estoy bastante seguro de que la entrada de calor aumenta en un factor de 2. Para $\beta$ tenemos que ser cuidadosos. No puede estar (muy) cerca de hervir o afectará las corrientes convectivas. Y el nivel del agua también afectará mucho su valor (principalmente debido a $m$ , pero también $A$ ).

Propuesta de experimento

paso 1

Para cualquier volumen de agua arbitrario, obtenga valores de estado estable para diferentes niveles de potencia y utilícelos para determinar $\alpha/\beta$ , que es específico para ese nivel de potencia y volumen. Matemáticamente, eso da:

\frac{α}{β} = T (\infty) - T_{a i r}

$\frac{ \alpha }{ \beta} = T(\infty) - T_{air}$

Es posible que desee hacer esto para varios niveles de potencia. Simplemente aumente un poco el nivel de potencia, espere un poco y luego registre la temperatura. Eso debería ser lineal, pero el grado en que es lineal es una buena prueba de qué tan precisa es la imagen mental.

paso 2

Hemos estado cambiando el nivel de potencia, así que ahora detengámonos, mantengamos el mismo volumen de agua y el nivel de potencia, y observemos el cambio de temperatura a lo largo del tiempo. La ecuación diferencial que escribí tiene una solución que básicamente resulta en lo siguiente, si la olla comienza a temperatura ambiente y luego se calienta.

T (t) = T_{a i r} + (1 - {mi}^{- β t}) (T (\infty) - T_{a i r})

$T(t) = T_{air} + \left( 1 - e^{ - \beta t } \right) \left( T(\infty) - T_{air} \right)$

Debe saber del paso anterior cuál es la temperatura final, por lo que es conocida.

β = - en (- \frac{T (t) - T_{a i r}}{T (\infty) - T_{a i r}} + 1) / t

$\beta = - \ln{ \left( - \frac{ T(t) - T_{air} }{ T(\infty) - T_{air} } + 1 \right) } / t$

β = en (\frac{T (\infty) - T_{a i r}}{T (\infty) - T (t)}) / t

$\beta = \ln{ \left( \frac{ T(\infty) - T_{air} }{ T(\infty) - T(t) } \right) } / t$

Siempre que haya comenzado correctamente con la temperatura del aire y haya encontrado correctamente la temperatura final, solo necesita un punto de datos en el medio para resolver la ecuación anterior.

Esto brinda una forma de encontrar la constante de tiempo de calentamiento, así como formas de interpretar los coeficientes. Recuerda que la constante de tiempo es específica a la cantidad de agua en la olla. Si quisiera obtener una comprensión más completa, usaría los datos para resolver $\alpha$ , y luego correlacione eso con lo que la estufa dice que es el calor, para obtener un factor de corrección de la cantidad de calor perdido directamente en el aire desde el ojo.

Como sé poco de física, es difícil seguir tu explicación. Me tomaré tiempo para entenderlo. Déjame preguntar sobre la notación. En la primera ecuación, $W$ significa trabajo que hace el calentador y por lo tanto $\dot{W} = 700\mathrm{W}, 1000\mathrm{W}$ en este caso no? Y qué $A$ y $h$ ¿representa?
@Taro Sí, lo entiendes. Los puntos indican que son por unidad de tiempo. Q y W y medidas de calor, y ponerles un punto los convierte en una medida de flujo de calor. A es el área y h es el coeficiente de transferencia de calor, que solo tienes que buscar en Google. Sin embargo, ninguno de estos es necesario para su problema. Matemáticamente, hice solo 2 predicciones que importan: la temperatura va linealmente con la entrada de calor y como exponencial decreciente con el tiempo. Eso significa que tienes dos parámetros para resolver. yo también debí haber escrito $T(\infty)=T_{air}+\gamma \dot{W}$ como alternativa al coeficiente de calefacción
me confundo un poco con la notación $T(\infty)$ . Creo que tiene sentido porque la temperatura está aumentando y acotada arriba; por lo tanto existe $T_\infty = \lim_{t \to \infty}T(t)$ . Así que para suficiente grande $t$ , su derivada $dT/dt$ es cero y conduce a $\alpha/\beta = T_\infty - T_\text{air}$ . Sin embargo, en este caso, $T_\infty = 100^\circ\mathrm{C}$ , ¿no es así? En ese caso, $\alpha/\beta$ ¿Solo depende solo de la temperatura ambiente? ¿Eso significa $h \propto T_\text{air}$ ? y obtengo $T = T_\text{air} + \dfrac{\alpha}{\beta} + e^{-\beta t}$ . (Probablemente esto podría ser solo un pequeño error tipográfico).
@Taro La física que hemos discutido hasta ahora es el balance de calor y la ley de enfriamiento de Newton. Si la temperatura final será de 100 C, supongo que quiere decir que hervirá. Eso es extremadamente problemático. Todas las suposiciones que usamos ya no son válidas. El comportamiento es por partes (en el sentido más simple). Si hierves, no puedes encontrar $T_{\infty}$ del mismo modo. Todavía podría aplicar estas ecuaciones para el calentamiento hasta la ebullición, tal vez ajustando un ajuste exponencial a los datos en Excel. Podrías hacer eso con los datos que publicaste. Pero con el inicio de la ebullición, la física cambia.
Me temo que no entiendo bien. Si las ecuaciones se vuelven inválidas en el punto de ebullición, ¿qué quiere decir con "solución de estado estacionario"? ¿Podría explicarlo, por favor?
@Taro Inicialmente no sabía que ibas a hervir. Eso cambia el problema y lo hace más difícil. La solución de estado estacionario no funciona cuando se trata de ebullición porque conocemos la temperatura final. Un modelo simplista es que la temperatura aumenta de acuerdo con la exponencial hasta el punto de ebullición y luego permanece constante a medida que el calor del ojo se transfiere a la energía del vapor. Dado que va a estar hirviendo, no tengo los objetivos lo suficientemente claros como para sugerir un curso de acción conciso.

Juan Rennie · Answer 2

Tienes tres procesos en marcha:

el calor inyectado calienta el agua a un ritmo constante
la sartén se enfría de acuerdo con la ley de Newton, es decir, la tasa de pérdida de calor es proporcional a la diferencia de temperatura entre la sartén y el ambiente
pierdes calor por la evaporación del agua

Es fácil escribir una ecuación diferencial para los mecanismos 1 y 2, pero creo que el mecanismo 3 será problemático. Hay algo de información al respecto en el sitio web de Engineering Toolbox , pero esto requiere parámetros como el contenido efectivo de humedad del aire alrededor de la bandeja. Sospecho que necesitará medir esto en lugar de intentar calcularlo a partir de principios básicos.

Tenga en cuenta también que cuando la temperatura alcanza los 100ºC, el mecanismo cambia ya que la evaporación se vuelve efectivamente infinita, es decir, incluso con una gran entrada de energía, no puede elevar la temperatura del agua (mucho) por encima de los 100ºC. Esto significa que obtendrá una discontinuidad en la curva de calentamiento a 100ºC.

Puede hacerse una idea de la contribución del enfriamiento por evaporación (por debajo de 100 ºC) calentando la sartén con y sin una tapa ajustada.

Estoy mirando su enlace, tratando de encontrar una ocurrencia de la temperatura del agua en la expresión de la tasa de evaporación, y es difícil. Estoy pensando que está horneado en la presión parcial del vapor de agua en condiciones de saturación. Supongo que probablemente no sea lineal...
@AlanSE: sí, así es como interpreté la información en esa página. Hay ajustes empíricos para la presión de vapor frente a la temperatura, pero todo se va a complicar un poco.
Recientemente resolví un problema de mi pregunta anterior y dije que estaba pensando en este problema nuevamente. Allí, un término $T - 100\mathrm{^\circ C}$ aparece Su sugerencia no parece contener este término. (Y no puedo derivar este término de ningún primer principio en este momento). ¿Qué piensas al respecto? ¿Es casualidad que el término encaje?
La temperatura no puede subir por encima de los 100 °C porque el agua comienza a hervir, pero creo que hay un valor distinto de cero de dT/dt justo antes de llegar a los 100 °C y hay una discontinuidad a los 100 °C. En la práctica, esto sería muy difícil de ver porque el flujo de calor a través del agua toma un tiempo finito, por lo que no toda el agua estará a la misma temperatura. Mi conjetura es que esto elimina la discontinuidad, por lo que una ecuación que se aproxima a 100C asintóticamente da un buen ajuste aunque no sea estrictamente cierto.

rayo siddhant · Answer 3

mira que usamos integración simple ..

d T / d t = - k (T - 100)

$dT/dt = -k(T - 100)$ esto está de acuerdo con la Ley de Enfriamiento de Newton, que dice que la tasa negativa de cambio de temperatura es directamente proporcional a la diferencia de la temperatura inicial de la sustancia y la temperatura circundante del medio ambiente.

d T / d t = - k (T - 100)

$dT/dt = -k(T- 100)$

d T / (T - 100) = - k d t

$dT/(T- 100) = -k \,dt$

\int d T / (T - 100) = \int - k d t

$\int dT/(T- 100) = \int -k \,dt$

en (T - 100) = - k t + C (1)

$\ln(T - 100) = -kt + C \qquad \text{(1)}$

Poniendo $t = 0$ en el momento de origen y el correspondiente valor de $T$ , obtenemos el valor de $C$ .

Poner el valor de $C$ en (1) podemos encontrar $k$ en términos de $T$ y $t$ .

Podemos poner los respectivos valores para la respuesta final.

Gracias por su respuesta. Pero eso es básicamente lo que hice en mi publicación anterior como escribí en la pregunta... El problema es cómo determinar el $k$ con respecto a los alrededores algo como $V$ o $P$ . Y de donde sale el DE si realmente gobierna el sistema.

¿Cómo puedo determinar el coeficiente kkk en dTdt=−k(T−100∘C)dTdt=−k(T−100∘C) \dfrac{dT}{dt} = -k(T - 100 \mathrm{^\ círculo C}) ?

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