¿Qué tan caliente está el agua en la olla?

Pregunta: ¿Qué tan caliente está el agua en la olla? Más precisamente hablando, ¿cómo puedo obtener una temperatura del agua en función del tiempo a priori?

Antecedentes y mi intento: Recientemente comencé a dedicar un tiempo a cocinar. Y tengo curiosidad al respecto. Aprendí matemáticas como estudiante universitario durante cuatro años, pero sé un poco sobre termodinámica. (Escuché una conferencia así una vez. Así que he oído hablar de d tu = T d S − pags d V , Entropía y energía de Gibbs, por ejemplo, aunque me olvidé de casi todo; de todos modos, creo que nunca he visto una fórmula dependiendo del tiempo). Así que primero realizo un pequeño experimento: caliento 100 ml de agua por IH que corresponden aproximadamente a 700 W y mido su temperatura cada 30 segundos. Aquí están los resultados.resultados del experimento

Parece casi lineal, pero creo que la aproximación lineal es inapropiada; porque si es así, el agua sube más que 100 ∘ C . Así que supongo que es una función creciente convexa como T ( t ) = 100 − α mi − t / β para alguna constante positiva α y β .Pero no se ajusta a los datos.(Se ajusta a los datos. Acabo de cometer un error en un cálculo simple. Vea mi respuesta ).

Creo que ignoré demasiados factores. Así que siéntete libre de asumir cualquier cosa razonable. Te agradecería mucho si me ayudas. Gracias.

Pregunta adicional: hago un experimento y algunos cálculos para tratar un problema señalado en los comentarios de mi respuesta: mal ajuste a temperatura más baja. Sin embargo, no puedo obtener una mejor solución. El ajuste parece peor que antes... Estos son los resultados que obtuve. Calenté 100 ml de agua en una olla con un radio de 9 cm por IH correspondiente a 700 W. (Para el cálculo, agregué valores de interpolación lineal en el gráfico). ¿Cómo puedo obtener una mejor solución? curva logística(La curva azul claro es una aproximación logística definida por T = 100 1 + 1.62 mi − 0.0168 t como se menciona aquí .)

la mayoría de mis métodos algebraicos conducen a la exponencial, así que no publiqué porque dijiste que no funcionaba. Es por eso que se me ocurrió el ad hoc. Me alegra ver los trabajos exponenciales después de todo.
@Chris y Taro Terminé de publicar mi sugerencia sobre gnuplot demasiado tarde. Inicialmente pensé que el ajuste era un segundo problema para la elección de la función de ajuste. Gracias por la pregunta de cocina diaria.
Gracias por pasar algún tiempo Chris y Stefan. Como resulta que cometí un error en los cálculos simples y no puedo eliminar esta publicación, escribo una respuesta por mi cuenta. Creo que está bien, pero como no soy estudiante de física sino de matemáticas, puede haber errores físicos. Por favor, dime si hay algunos.
Tengo curiosidad por el voto negativo. @Taro Ajuste el título de la pregunta a su pregunta de recompensa actualizada. Recomendaría eliminar la sección sobre termodinámica.

Respuestas (3)

Parece que hemos llegado al punto en que los modelos simples ya no satisfacen. En lugar de plantear DE ad hoc, tal vez sea hora de probar un modelo físico real. Aparte de hacer una simulación hidrodinámica completa (definitivamente exagerada aquí), podemos probar lo que se llama un modelo de capacitancia concentrada donde dividimos el sistema en una serie de "grumos" y la energía fluye entre los grumos:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La ley fundamental que rige este sistema es la conservación de la energía. Cada bulto tiene una ecuación de la forma

d d t ( energía en masa ) = tasa de energía que entra − tasa de salida de energía .

Tratamos la entrada de calor como un flujo fijo y el aire (ambiente) como un baño de calor a una temperatura fija. Si dejamos que la capacidad calorífica del i -th bulto ser C i ( T ) , que puede ser una función de la temperatura entonces

d d t ( C pags ( T pags ) T pags ) = PAGS − r 1 ( T pags − T w ) − r 2 ( T pags − T a ) d d t ( C w ( T w ) T w ) = r 1 ( T pags − T w ) − r 3 ( T w − T a )

Puede buscar cómo la capacidad calorífica C w ( T ) varía con la temperatura del agua (¿aunque probablemente no con el material de la olla?), pero simplificaremos drásticamente y supondremos, incorrectamente, que las capacidades caloríficas son constantes.

d d t T pags = − r 1 + r 2 C pags T pags + r 1 C pags T w + PAGS + r 2 T a C pags ≡ a T pags + b T w + s pags d d t T w = r 1 C w T pags − r 1 + r 3 C w T w + r 3 T a C w ≡ C T pags + d T w + s w

donde el a , b , C , d , s pags , s w son abreviaturas. Tenga en cuenta que sólo seis combinaciones de los siete parámetros ( r 1 , r 2 , r 3 , PAGS , T a , C pags , C w ) realmente entran en el problema, por lo que hay cierta degeneración de los parámetros. Puedes ver, Taro, que este es casi el modelo que se te ocurrió en tu respuesta. La diferencia es que estoy incluyendo la entrada de calor explícitamente, por lo que se garantiza la conservación de la energía.

Con la taquigrafía matricial obvia, estas ecuaciones se pueden escribir

T ˙ − METRO T = s ,

que, para una fuente constante, tiene la solución

T ( t ) = mi METRO t T 0 + mi METRO t ( ∫ 0 t mi − METRO τ d τ ) s .

Cuando METRO es invertible (lo que definitivamente debería ser para este problema; si no lo es, entonces hay un error en alguna parte), la integral se puede simplificar:

T ( t ) = mi METRO t ( T 0 + METRO − 1 s ) − METRO − 1 s .

Puede comprobar que esto satisface la ecuación original con las condiciones de contorno adecuadas. Hay ocho parámetros para ajustar: los cuatro elementos de la matriz, dos fuentes y dos temperaturas iniciales. Es un problema de regresión no lineal ya que la matriz exponencial depende de forma no lineal de los parámetros de ajuste. Por lo tanto, me temo que no conozco una forma sólida y eficiente de ajustar este modelo a sus datos, a menos que use algunas suposiciones para simplificar la dependencia de los parámetros, pero este es el modelo motivado físicamente para su situación.

+∞ para modelar realmente el sistema; nit pequeño: nombrar una tasa de energía q es un poco lamentable...
Teóricamente, estoy satisfecho con tu respuesta. Ajustar los parámetros no es problema en absoluto; reescribir la ED original como una ecuación de parámetros X me gusta A X = b y estimar X ^ por regresión simple es suficiente. El único problema que queda es cómo calcularlo. Ciertamente no se puede hacer con las manos, aunque debe haber algún software que pueda tratar este tipo de problema...
Trato de estimar los parámetros asumiendo que una tasa de energía es de 700W y T a = 20.0 . Pero de alguna manera C w < 0 y no puedo encontrar lo que está mal... ¿Me podrían ayudar? Aquí hay un código que probé.
Noté que el DE que escribiste no converge con el mío como r 1 → 0 . Así que intenté esto para solucionar ese problema. Sin embargo, las capacidades también son de alguna manera negativas...
Mucho trabajo y obras faltando a la realidad. Busque algunos libros sobre generación de vapor o tecnología química general para aprender cómo se estiman los procesos de evaporación. Demasiado complicado para los físicos de hoy.
@Georg ¿Físicos en general o yo? Esta es una generalización insultante. Estoy perfectamente feliz de admitir que podría haber cometido un error (aunque parece funcionar, vea el ajuste a continuación) ya que la última vez que leí uno de esos libros fue hace años. Desde entonces, pasé a campos menos complicados como la teoría cuántica relativista de campos. :) Sé que la evaporación puede , dependiendo de las condiciones, ser un problema aquí y mencioné que este modelo estaba muy simplificado . Así que siéntase libre de dar comentarios constructivos (como una referencia o ecuación real, menos los insultos) o escriba su propia respuesta.
@Georg De wiki: "El calentamiento o enfriamiento convectivo en algunas circunstancias puede describirse mediante la ley de enfriamiento de Newton ... Sin embargo, por definición, la validez de la ley de enfriamiento de Newton requiere que la tasa de pérdida de calor por convección sea una función lineal de ... la diferencia de temperatura que impulsa la transferencia de calor, y en el enfriamiento por convección a veces este no es el caso. En general, la convección no depende linealmente de los gradientes de temperatura y, en algunos casos, es fuertemente no lineal". Entonces, lo que hice no es obviamente malo, sigue siendo defectuoso. Pero el modelo lineal parece estar bien para estos datos.
Michael, la wiki está equivocada en la medida en que usan "a veces" por no ser lineal. De hecho es casi siempre! En cuanto a la física: todas, porque procesos así no se enseñan en la física actual. La teoría de los números adimensionales que se utiliza para tratar este fenómeno fue inventada principalmente por físicos (léase sobre Nusselt, Prantl, Reynolds, Grashoff) pero en realidad es muy complicada y más o menos "antifísica". En física aprendes a hacer las cosas lo más simples posible en un experimento, todo lo contrario a esos cálculos.

Para cerrar esta publicación, escribo una respuesta por mi cuenta, aunque resultó que cometí un simple error de cálculo.

Dado que el aumento de temperatura debe ser monótono y acercarse a cero en el punto de ebullición, es razonable suponer que el aumento de temperatura d T / d t es proporcional a la diferencia T − 100 ∘ C , eso es,

d T d t = − k ( T − 100 ∘ C )
se cumple para alguna constante positiva k . Resolviendo esta ecuación da
T = 100 ∘ C + ( T ( t 0 ) − 100 ∘ C ) mi − k ( t − t 0 ) .

Determinemos el coeficiente k de norte mediciones por regresión lineal. Dejar C ser un intervalo de tiempo de experimentos y X norte la temperatura del agua en t norte = C norte . Luego estima la pendiente de la recta tangente por

y norte = metro mi a norte ( t norte + 1 − t norte C , t norte − t norte − 1 C ) = t norte + 1 − t norte − 1 2 C
por 0 < norte < norte . De la ecuación anterior, debe haber una relación de la forma
y norte = − k ( X norte − 100 ∘ C ) + ε norte
dónde ε norte significa errores experimentales. Denoto esta ecuación por
y = − k X + ε
como taquigrafía. El mejor estimador k ^ se da si X y ε son ortogonales entre sí. Por lo tanto
k ^ = − ( X , y ) ( X , X ) ≈ 0.00667 s − 1
de cálculos . Y este valor se ajusta bien a los datos experimentales. adecuado

Nota: Reescribo completamente esta respuesta. Aquí, me gustaría revisar dónde mi respuesta fue inapropiada. No parece un problema de física sino un problema de estadística. La última vez, primero resolví DE y tomé el logaritmo para hacerlo lineal. Sin embargo, los errores experimentales también se transformaron. Especialmente, en ⁡ ( 100 − X norte ) → − ∞ como X norte → 100 . Entonces esto parece causar un ajuste excesivo a temperaturas más altas y un ajuste incorrecto a temperaturas más bajas. (Teniendo en cuenta un efecto del bote parece una buena idea, pero todo lo que intenté falla. No se ajustará a los datos y seguirá abierto, aunque ya obtuve una aproximación razonable).

Muchas gracias por ayudarme, Chris, Stefan Bischof, Michael Brown y Christoph.

No necesariamente diría que es un mal ajuste, aunque tampoco es el mejor ajuste. Lo que te enseñan en los laboratorios de física de pregrado es "una medición sin barras de error no tiene sentido". No necesita ningún tipo de análisis estadístico sofisticado para este problema, pero para ir más allá con respecto a si su modelo es bueno o malo, necesita una idea de cuán grande podría ser el error en sus mediciones de temperatura y tiempo. Recomendaría poner su termómetro en agua helada y hervir agua un par de veces (si puede soportarlo) para ver cuánta variación obtiene, y/o consultar la hoja de datos.
Además, los datos pueden estar en el extremo inferior desde el principio, lo que podría deberse al calentamiento de la olla y al agua. Por lo tanto, es posible que desee intentar precalentar la olla y luego poner agua.
Por cierto, no existe ninguna regla en contra de responder a su propia pregunta en SE. Incluso puede aceptar su propia respuesta.
@MichaelBrown Gracias por proponer un experimento. Lo haré para estimar qué tan grande es el error de medición. Por cierto, voy a aceptar mi respuesta, pero estaba prohibido aceptar una respuesta por mí mismo en las primeras horas.
Agregué barras de error. Según una cuenta, la precisión es T ± máximo ( 2.5 ∘ C , 0.025 T ) aunque todavía no lo compruebo mediante experimentos.
puede obtener un mejor ajuste si no codifica los 100 ° C
@Christoph Podría ser. Pero, ¿hay alguna razón natural por la que asumamos que no lo es?
@Taro: la realidad es desordenada y estamos tratando con una teoría efectiva; si los factores de elusión lo ayudan a obtener un mejor ajuste, úselos incluso si no puede derivarlos de los primeros principios; explicando de dónde vienen viene después de eso
@Taro Razones para no 100 °C en realidad podrían ser efectos refrescantes de los bordes de la olla (podrían ser más fríos que directamente en el fondo de la olla). La dependencia de la presión debe ser despreciable a menos que use una olla a presión de vapor.
Comente sobre la última edición: si no está midiendo la temperatura de la olla por separado, puede eliminar T 2 del sistema Derive la primera ecuación y elimine τ 2 . Obtendrás τ ¨ 1 + a τ ˙ 1 + b τ 1 = 0 dónde a , b son algunos polinomios de m 1 , m 2 , λ 1 , λ 2 . Entonces solo necesitas dos parámetros ( a , b ) y dos condiciones iniciales para hacer el ajuste.
@MichaelBrown Diferencie la primera ecuación y la sustitución me da τ 1 ¨ = ( λ 1 + m 1 ) τ 1 ˙ + m 2 2 τ 1 − m 2 ( λ 2 + m 2 ) τ 2 . ¿Cómo puedo eliminar la dependencia del tiempo de τ 2 incluso si mido temperaturas simultáneamente?
Sí, solo usa la primera ecuación nuevamente para deshacerte de τ 2 .

El ajuste de datos generalmente se realiza mediante el método de ajuste de mínimos cuadrados . Ya está implementado en un par de sistemas de álgebra computacional. Recomiendo el gnuplot de código abierto para ajustar los datos. Encontrará los resultados del modelo más apropiados en el menor número de mínimos cuadrados ajustados. Mi enlace contiene un script de ejemplo de gnuplot para el ajuste.

Responder

T 1 ( t ) = A ⋅ t − B ⋅ mi − k ⋅ t + C
Comience a encajar con la sugerencia de aumento saturado de Chris en los comentarios. Trate de identificar T hervir ( pags ) ≈ 100 ºC y T habitación de T ( 0 s ) .

Edite sobre el tiempo prolongado después de su medición: mantener su plato caliente aún encendido me permite pensar en el hecho de que el agua todavía se está cocinando. La conversión de la fase de agua a gas todavía está en proceso. Un diagrama de medición después de la fase de calentamiento se vería como una constante/ruidosa ≈ 100 saturación °C. Esta medida extendida estaría mejor cubierta por alguna tangente hiperbólica

T 2 ( t ) = A ⋅ t + B ⋅ bronceado ⁡ ( k ⋅ t ) + C
El crecimiento logístico representa un aumento de temperatura más lento y un aumento asintótico a ≈ 100 ºC

¿Cómo se te ocurre el factor tangente hiperbólico?
@Taro Lo llamaría intuición empírica. Mi ajuste alternativo T 2 ( t ) no se basa en leyes físicas. Solo el hecho de una temperatura constante del agua antes y al final de la cocción me recordó una tangente hiperbólica. Aunque su ley de enfriamiento de Newton favorece el ajuste con T 1 ( t ) . La comparación de la calidad de los ajustes proporciona un mejor punto de vista objetivo. Su ajuste en su respuesta (+1) parece razonable, pero podría haber un efecto adicional al comenzar a calentar la olla de acero. ¿Calentamiento de olla de acero frío?
@Taro: la idea básica detrás del uso de la tangente hiperbólica es el crecimiento logístico ; ajustando las temperaturas de la olla medidas con A bronceado ⁡ B ( t − C ) + D me parece bien
@Christoph Gracias por elaborar una idea detrás de la tangente hiperbólica. Me vuelvo natural a esa idea: crecimiento logístico. Si es así, la ecuación dominante es probablemente
d T d t = γ ( T − T punto de fusion ) ( T − T punto de ebullición ) .
Lo intentaré.
@Christoph Lo intenté pero parece que esta aproximación también tiene el mismo problema (ver figura actualizada en la pregunta). Probablemente deberíamos considerar el bote de todos modos.
@Taro: siempre puede intentar resolver su problema con un martillo numérico como la regresión logística de cinco parámetros
T = d + ( a − d ) / ( 1 + ( t / C ) b ) F
y tendrás un ataque ; a ≈ 22 resulta ser la temperatura ambiente, d ≈ 91 la temperatura de estado estacionario, b ≈ 1.5 podría ser específico para el agua o su configuración; C y F resultan ser factores de orden fudge 10 5 con alta variabilidad (pueden usarse para equilibrarse entre sí hasta cierto punto), lo que sugiere que la dependencia funcional aún no es del todo correcta
@Christoph Cuando transformé la ecuación logística anterior a la forma estándar por transformación PAGS = T / 100 , Encontré
d PAGS d t = − γ 10 6 PAGS ( 1 − PAGS ) .
Por lo tanto, es posible que no eluda los factores en absoluto.
@Taro: para C ≫ t el denominador será aproximadamente 1 + F ( t / C ) b lo que explica por qué F y C se puede variar uno al lado del otro sin cambiar el resultado y sugiere que aún no hemos encontrado los parámetros físicos correctos
@Christoph Siéntase libre de editar sus valores de ajuste agradable y factores de ajuste para subrayar mi ajuste tangente hiperbólico T 2 ( t ) . ¡Esta discusión es más divertida que mi complejo proyecto industrial!
¿Qué tan caliente está el agua en la olla?
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