¿Cómo puede la longitud ser un vector?

$d\vec \ell$no es una longitud. Es un vector de longitud infinitesimal (de longitud$d\ell$) que está en la dirección del flujo de corriente.

La corriente, por otro lado, es un vector ya que fluye en direcciones específicas. A menudo no se indica mediante un signo vectorial (por razones históricas) porque en los circuitos la corriente fluirá a lo largo del cable que la transporta.

Además, tenga en cuenta que, en el caso específico de Biot-Savart, hay un problema histórico con la notación. la notación$Id\vec \ell$debería ser realmente$\vec I\,d\ell$: esto resolvería tu confusión, pero la historia es historia. De hecho, puede apreciar la peculiaridad de la notación comparando las expresiones fuente:

$$\begin{align} \vec B\propto\left\{ \begin{array}{ll} Id\vec \ell \times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for linear current distributions}\, ,\\ \vec K\,dS\times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for surface current distributions}\, ,\\ \vec J\,dV\times \frac{\hat r}{r^2}&\hbox{ for volume current distributions}\, ,\end{array}\right. \end{align}$$ sugiriendo claramente que, para ajustarse a las expresiones de superficie y volumen, el actual $I$debería ser vectorial pero el elemento de línea $d\vec \ell$debe ser escalar.

Longitud , o distancia , no es un vector. La cantidad vectorial es el desplazamiento .

En integrales como la de la ley de Biot-Savart,

$$\mathbf B = \int_C \frac{I \, d \mathbf l \times \mathbf r'}{|\mathbf r '|^3},$$ la integral es sobre una curva $C$, y $d\mathbf l$representa un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la curva. Más rigurosamente, es tangente a la curva, la línea roja en la figura de abajo, que es el límite de la línea verde, una secante, ya que los dos puntos de intersección se aproximan. Como puedes ver, tiene una dirección, por lo que debe ser una cantidad vectorial.

Además, actual$I$es siempre un escalar, porque la corriente se define como la cantidad de carga que fluye a través de una superficie por unidad de tiempo. Por lo tanto debe ser un escalar. Sin embargo, en electrodinámica es más habitual tratar con la densidad de corriente $\mathbf j$, que es una cantidad vectorial y codifica tanto la cantidad de carga que fluye como su dirección. Por ejemplo, si hay$n$portadores de carga por unidad de volumen (escalar), cada uno con carga$q$(escalar), y su velocidad es$\mathbf v$(una cantidad vectorial), la densidad de corriente es

$$\mathbf j = qn\mathbf v.$$

La corriente$I$ aunque una superficie $S$se encuentra integrando el flujo a través de él:

$$I = \int_S \mathbf j \cdot d\mathbf S$$ que es un escalar, ya que contiene un producto escalar.

En un cable delgado, la corriente solo puede fluir a lo largo del cable, por lo que la densidad de corriente siempre debe estar a lo largo$d \mathbf l$, y su magnitud está fijada por la corriente total siendo$I$, por lo que no hay una necesidad real de introducir el concepto. Sin embargo, en conductores bidimensionales o tridimensionales, es necesario introducir la densidad de corriente, y entonces la ley de Biot-Savart toma la forma

$$\mathbf B = \int_V \frac{\mathbf j \times \mathbf r'}{|\mathbf r'|^3} \, dV$$ que se puede reducir a la primera forma tomando la densidad de corriente como proporcional a un delta de Dirac adecuado.

Si bien la longitud no es un vector, el desplazamiento ciertamente lo es. Cuando los físicos usan$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$, no están hablando de un área pequeña, sino de un desplazamiento pequeño. En particular, si la curva cerrada utilizada en la ley de Biot-Savart viene dada por una función$\textbf{r}(\lambda)$dónde$\textbf{r}$es la posición de un punto en la curva y$\lambda$es algún parámetro, entonces esencialmente definimos

$$\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\frac{\mathrm{d}\textbf{r}}{\mathrm{d}\lambda}\mathrm{d}\lambda$$

Este es solo el vector tangente a la curva en un punto cuya magnitud es la distancia recorrida después de un cambio$\mathrm{d}\lambda$.

Esto no debería ser demasiado extraño. Si estudió la ley de Gauss (supongo que sí), entonces encontrará integrales de la forma

$$\int_{\Sigma}\textbf{E}\cdot\mathrm{d}\textbf{S}$$

Dónde$\mathrm{d}\textbf{S}$es el "área del vector". Esto es simplemente un vector perpendicular a$\Sigma$en un punto cuya longitud es igual al área infinitesimal trazada cambiando los parámetros de la superficie en una pequeña cantidad.

Ahora, a su pregunta sobre la corriente. La corriente es un vector, ya que se define con respecto a la velocidad de las cargas en movimiento. La ley Biot-Savart en su forma estándar dice

$$\textbf{B}(\textbf{r})=\int_{C}I(\textbf{r}')\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\textbf{r}'}{|\textbf{r}'|^3}$$

Con$\textbf{r}'=\textbf{r}-\boldsymbol{l}$. La decisión de escribir$I$como escalar y$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$como vector era histórico, y uno podría escribir la ley de Biot-Savart con la misma precisión como

$$\textbf{B}(\textbf{r})=\int_{C}\mathrm{d}l\,\frac{\textbf{I}(\textbf{r}')\times\textbf{r}'}{|\textbf{r}'|^3}$$

El razonamiento detrás de elegir$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$radica esencialmente en el hecho de que las integrales vectoriales de línea en física se escriben normalmente con diferenciales vectoriales. Sin embargo, si desea tratar la corriente como el vector (que es más significativo físicamente), siga adelante.

¡Espero que esto haya ayudado!

La ley de Biot-Savart es el producto cruzado de dos vectores, el vector actual y el vector que representa el punto cuyo campo magnético desea calcular. Es más fácil de entender usando la ley para una sola partícula cargada.

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}·q·\frac{\vec v \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Tiene más sentido ahora ¿no? El problema es que no calculará esto para partículas individuales sino para el flujo de corriente. Ese flujo de corriente está determinado por el número de electrones n veces su velocidad promedio, por lo tanto.

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}·n·q·\frac{\vec v \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Aún no es lo suficientemente bueno, no sabes cuántas cargas individuales hay para un punto dado en el espacio. Sin embargo, conoce la corriente en un punto dado del cable. Para cada dl del cable, el número de electrones por su velocidad es igual a la corriente por dl por el vector de la dirección del cable.

$$I·dl·\vec u_w =I·\vec {dl}= n·q.\vec v$$

$$\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\vec {dl} \times \vec r}{{\lvert \vec r \rvert}^2}$$

Como puede ver, el vector que ve (en este ejemplo y en muchos otros) es simplemente un vector unitario del espacio multiplicado por la diferencia de longitud. La longitud en sí es un escalar. Este vector es similar a decir que tiene que operar con la longitud dl pero teniendo en cuenta la dirección de lo que sea que esté operando (actual en este caso).

Espero que esto haya aclarado las cosas

• $\vec l$es el desplazamiento (o posición ), y$l$es su magnitud, llamada distancia o longitud .

Es posible que escuche a las personas llamar desplazamiento por longitud, porque en el siguiente instante calculan rápidamente la longitud. Palabras descuidadas, eso es todo.

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• $I$se define como la cantidad de carga que pasa a través de una sección transversal cada segundo. Al igual que la velocidad es la distancia recorrida por segundo . Independientemente de la dirección. Eso es solo una definición.

Esta definición de$I$no le importa la dirección, normalmente porque los cables son unidimensionales. Cuando se necesita dirección, la gente suele usar$I/\vec A$, de modo que la corriente se vea en comparación con el área por la que pasa. Desde$I$se define sin dirección, al área se le debe dar una dirección en su lugar (definida como la normal que apunta perpendicularmente hacia afuera). Esta cantidad se suele llamar densidad de corriente .

Esta es solo una definición. Cuando ves la corriente como un vector$\vec I$en cualquier lugar, están redefiniendo (haciendo su propia definición ligeramente modificada) esta cantidad, que deben/deberían indicar claramente. De hecho, hice esa misma pregunta hace algún tiempo, ya que estoy de acuerdo con tu duda, y encontrarás las respuestas en esa publicación .