¿Cómo puede el flujo magnético ser un escalar pero la densidad de flujo magnético es un vector?

El área de una superficie plana$A$puede por convención ser considerado como un vector cuya magnitud es$A$y cuya dirección$\hat n$es la dirección de la perpendicular al área.$\vec A= A\,\hat n$.

Si el área es una superficie curva entonces se deben considerar elementos pequeños$dA$que se puede considerar plano por lo que$d\vec A =dA\,\hat n$.

El flujo magnético$\Phi$se define entonces como el producto de la componente de la densidad de flujo magnético$\vec B$que es perpendicular a la superficie$B_\perp$y el área.
$\Phi = B_\perp \,dA = B \cos \phi\, dA=\vec B\cdot d\vec A$.

La dirección del flujo magnético se define por la elección de la dirección de las normales a la superficie.
En el diagrama el flujo magnético es positivo.
Puede pensar en esto como el campo magnético que fluye a través de la superficie en la dirección arbitrariamente elegida de las normales.
Si el campo magnético estuviera invertido en la dirección o las normales a la superficie estuvieran en la dirección opuesta, entonces el flujo magnético sería negativo.

El signo no significa que sea un vector, sino que indica si es un flujo de entrada o de salida. El producto se llama flujo y es máximo en el caso de que el área y el flujo sean perpendiculares. Cuando no son perpendiculares, el volumen que entra (o sale) del área es de esa parte del área que es perpendicular a él, es decir, se encuentra por el producto escalar. considerando el Área como un vector siempre señalado fuera del volumen.