¿Cómo podemos definir la distancia para un par de estados cuánticos en el espacio de fase?

No estoy seguro de lo que podría estar buscando, pero asumiré que desea el análogo de espacio de fase de la distancia de seguimiento de dos matrices de densidad normalizadas hermíticas σ y ρ , es decir, la mitad de la suma de los valores absolutos de los valores propios$\lambda_i$de su diferencia (hermítica),

$$T(\rho,\sigma) = \tfrac{1}{2} \operatorname{Tr} \left[ \sqrt{(\rho-\sigma)^2} \right] = \tfrac{1}{2} \sum_i | \lambda_i | ~.$$

En el espacio de fase, a través del mapa de Wigner, la matriz de densidad se transforma en funciones de Wigner (reales, normalizadas) y el espacio de Hilbert traza en integrales de espacio de fase.

Por lo tanto, terminas con algo como

$$T(f,g)=\tfrac{1}{2} \int dx dp ~\mid (f(x,p)-g(x,p))\mid_\star ~,$$
dónde $\mid f\mid _\star$puede definirse como, por ejemplo, $\tanh_\star(kf) \star f$, siendo k un número positivo, como $k\to \infty$.

Por ejemplo, la distancia de seguimiento entre el estado fundamental y el primer estado excitado del oscilador armónico cuántico es algo así como

$$T(f_0,f_1)=\frac{1}{\pi \hbar} \int dx dp ~\mid e^{-(x^2+p^2)/\hbar} ( 1-\frac{x^2+p^2}{\hbar}) \mid _\star = 1~.$$

En el espacio de Hilbert/Fock, el resultado es trivial, como$\rho=|0\rangle \langle 0|$,$\sigma=|1\rangle \langle 1|$, y por lo tanto T =(1+1)/2=1.

En el espacio de fase, felizmente, la integral anterior es computable a través de una propiedad fundamental de diferentes funciones de generación estelar de un hamiltoniano, su ortonormalidad estelar,$~f_a\star f_b= \frac{1}{h} \delta_{a,b}~ f_a$, ( Lema 4, ecuación (25) de CTQMPS ).

Como consecuencia,

$$\tanh_\star k(f_0-f_1) ~\star f_0= \tanh ( k/h) ~ f_0,$$
$$\tanh_\star k(f_0-f_1) ~\star f_1= \tanh(- k/h) ~ f_1,$$ Entonces el límite grande de k produce $\mid f_0-f_1\mid_\star=f_0 +f_1$, y dado que los estados de estrella están normalizados, la distancia de seguimiento se reduce a su valor máximo, $$T=\tfrac{1}{2}\int dx dp (f_0+f_1)=(1+1)/2=1.$$

Referencias:

Computación cuántica e información cuántica , Michael A Nielsen & Isaac L Chuang, Cambridge University Press; Edición del décimo aniversario (2011) ISBN-13: 978-1107002173

Un tratado conciso sobre mecánica cuántica en el espacio de fase , Thomas L Curtright, David B Fairlie, Cosmas K Zachos, World Scientific (2014) ISBN-13: 978-9814520430

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Ediciones : una medida de distancia diferente, pero relacionada, en el espacio de Hilbert es la Sección 4.4 de Heydari . Es menos directo de evaluar, pero se puede traducir al espacio de fase, si es necesario.

Una medida de distancia muy diferente transforma la fg -distancia asimétrica de Wigner de Mandilara, Karpov & Cerf, PhysRev A79 (2009) 062302, a saber,$\quad \int\! dxdp (f-g)^2 ~/(2\int\! dxdp ~f^2)$. Para el ejemplo de oscilador anterior, esto se evalúa como 1, por inspección.