¿Es posible medir directamente el valor esperado de un observable físico sin medir la distribución de probabilidad completa?

La medición directa de los valores esperados mediante una sola medición se puede realizar solo para observables macroscópicos y, de hecho, se realiza de forma rutinaria para estos.

Los valores registrados para cualquier medida macroscópica son, de acuerdo con la mecánica estadística de no equilibrio, las expectativas del conjunto de observables macroscópicos como densidades de masa, corrientes o densidades de energía.

Aparte de esto, la única situación en la que las mediciones individuales dan valores esperados sin aproximación es cuando un observable se mide en un estado propio.

En particular, con la advertencia de no "hacer suposiciones o aproximaciones adicionales, o que se apliquen solo en casos específicos", especificada en el anuncio de la recompensa (debe trasladar esto a su - en su forma actual no está claramente redactada - pregunta, ya que hace una diferencia esencial), la respuesta a su pregunta es negativa.

No puede haber una prueba en ausencia de una definición rigurosa de lo que es una medida. Tal definición no existe. Pero no hay ningún indicio en absoluto, ni en el experimento ni en la teoría, de que pueda ser posible.

No estoy seguro de cuán general es la respuesta que desea, pero aquí hay una prueba explícita de que no se puede hacer para las medidas estándar de los operadores hermitianos. Considere un operador arbitrario$A$y supongamos que queremos medir su valor esperado midiendo algún otro operador$B$.

Ahora, no importa en qué estado estemos, midiendo$B$siempre debe darnos un valor definido, el valor esperado. Esto solo es posible si cada vector es un vector propio de$B$, con el valor propio (el valor medido correspondiente) igual a$\langle A \rangle$. Es decir, queremos

$$B | v \rangle = \langle v | A | v \rangle |v \rangle.$$ Sabemos con seguridad que si $A$tiene un valor definido, entonces $B$también debe tener ese mismo valor definido, $$A | v \rangle = \lambda |v \rangle \quad \rightarrow \quad B |v \rangle = \lambda |v \rangle.$$ Pero desde $A$es hermítica, tiene una base completa de vectores propios, por lo que esta restricción por sí sola determina completamente $B$; debe ser igual a $A$. Entonces este operador de 'valor esperado' no puede existir.

Los valores esperados están definidos

En general, el valor esperado para cualquier cantidad observable se encuentra poniendo el operador mecánico cuántico para ese observable en la integral de la función de onda en el espacio:

Ver una medida como un valor propio

Cuando se aplica a un operador general Q, puede tomar la forma

significa que uno está eligiendo una instancia debajo de la primera integral.

Usted pregunta:

¿Es posible medir solo el valor esperado de un observable sin tener que medir la distribución de probabilidad completa de sus valores propios?

En el caso de funciones de onda de problemas potenciales, como por ejemplo las soluciones del átomo de hidrógeno, medir el espectro de energía tiene una probabilidad muy alta de caer en uno de los valores propios de energía de la solución, porque las funciones de onda dan una probabilidad muy alta en los valores propios de la energía. Así, medir un nivel de energía identifica la función de onda de origen sin necesidad de acumular una distribución de probabilidad.

En resumen, si la función de onda contiene valores propios discretos en alguna variable, medirlos también identifica la función de onda.

Podemos 'medir' el valor esperado de un operador realizando mediciones repetidas del mismo y tomando la media. (Estoy usando comillas aquí porque es más preciso decir que estamos estimando el valor esperado).

Entonces, supongamos que nos gustaría estimar el valor esperado$\left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right>$de un operador$\hat{A}$en un estado$\left|\psi\right>$. Podemos hacer lo siguiente repetidamente: preparar el sistema en el estado$\left|\psi\right>$y medir$\hat{A}$. si hacemos esto$n$veces, obtendremos$n$resultados de la medición$A_1,\dots,A_n$. Aquí cada uno$A_k$es un número real -- el resultado de la medición$k$del operador$\hat{A}$. La media de las mediciones es una estimación del valor esperado. Para grande$n$, la ley de los grandes números nos dice que debemos esperar

$$\begin{align} \left< \psi \right| \hat{A} \left| \psi \right> \approx \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n A_k \,. \end{align}$$

Entonces sí, uno puede estimar el valor esperado sin medir la distribución completa.