¿Cómo fue que Einstein se puso en contacto con la Geometría Diferencial para su teoría de la Relatividad General?

El propio Einstein contó la historia en su discurso de Kioto de 1922, que cito de la biografía de Pais titulada Sutil es el Señor :

" Si todos los sistemas son equivalentes, entonces la geometría euclidiana no puede contenerlos a todos. Desechar la geometría y mantener las leyes es equivalente a describir pensamientos sin palabras. Debemos buscar palabras antes de poder expresar pensamientos. ¿Qué debemos buscar en este Este problema permaneció insoluble para mí hasta 1912, cuando de repente me di cuenta de que la teoría de las superficies de Gauss tiene la clave para resolver este misterio. Me di cuenta de que las coordenadas de la superficie de Gauss tenían un significado profundo. Sin embargo, en ese momento no sabía que había estudiado los fundamentos de la geometría de una manera aún más profunda. De repente recordé que la teoría de Gauss estaba contenida en el curso de geometría que dio Geiser cuando yo era estudiante...

Me di cuenta de que los fundamentos de la geometría tienen un significado físico. Mi querido amigo el matemático Grossmann estaba allí cuando regresé de Praga a Zúrich. De él aprendí por primera vez sobre Ricci y luego sobre Riemann. Así que le pregunté a mi amigo si mi problema podía resolverse con la teoría de Riemann, es decir, si las invariantes del elemento lineal podían determinar completamente las cantidades que había estado buscando ".

En 1923 Einstein añadió:

" Tuve la idea decisiva de la analogía entre el problema matemático de la teoría y la teoría gaussiana de las superficies recién en 1912, sin embargo, después de mi regreso a Zurich, sin conocer en ese momento el trabajo de Riemann, Ricci y Levi. -Civita: Mi amigo Grossmann me llamó la atención por primera vez cuando le planteé el problema de buscar tensores generalmente covariantes cuyas componentes dependieran solo de las derivadas de los coeficientes.$[g_{\mu\nu}]$de la invariante fundamental cuadrática$[g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu]$".

Pais, quien entrevistó personalmente a Einstein para el libro, da más detalles. Grossman y Einstein estudiaron juntos en el ETH (Instituto Federal Suizo de Tecnología en Zúrich) de 1896 a 1900. Después de siete años de enseñar en la escuela secundaria, Grossman fue contratado como profesor titular de geometría en ETH en 1907. Curiosamente, eso fue lo mismo. año en que Einstein tuvo " el pensamiento más feliz de mi vida " que " el postulado de la relatividad debe extenderse a los sistemas de coordenadas que, entre sí, están en movimiento no uniforme ", es decir, la idea de la covarianza general. Pero Einstein estaba en Praga en ese momento, y sus intentos originales de gravedad relativista involucraban un "campo c" escalar. Grossman estaba presionando a ETH para que le ofreciera un puesto a Einstein. Tuvo éxito en 1912, y Einstein aceptó, a pesar de la invitación respaldada por Lorentz a Utrecht. Esto es lo que sucedió después, en palabras de Pais:

" Para apreciar lo que sucedió en agosto de 1912, es esencial saber que antes de su llegada a Zurich, Einstein ya había concluido que la descripción de la gravitación en términos del campo c escalar único de los días de Praga tenía que desaparecer y que un se necesitaba una nueva geometría del espacio-tiempo físico. Estoy convencido de que llegó a Zúrich con el conocimiento de que no solo se necesitaban uno sino diez potenciales gravitatorios... Debe haber sido en ese momento cuando dijo: 'Grossmann, Du musst mir helfen, sonst werd' ich verrückt!' ¡G., debe ayudarme o me volveré loco!Con la ayuda de Grossmann, la gran transición a la geometría riemanniana debió tener lugar durante la semana anterior al 16 de agosto, como lo indica la carta de Einstein a Hopf.

Estas conclusiones están en armonía con mis propios recuerdos de una discusión con Einstein en la que le pregunté cómo comenzó la colaboración con Grossmann. Tengo un recuerdo vívido, aunque no literal, de la respuesta de Einstein: le contó a Grossmann sus problemas y le pidió que fuera a la biblioteca y viera si existía una geometría apropiada para manejar tales preguntas. Al día siguiente volvió Grossmann (me dijo Einstein) y dijo que sí existía tal geometría, la geometría riemanniana. Es bastante plausible que Grossmann necesitara consultar la literatura ya que, como hemos visto, su propio campo de investigación estaba alejado de la geometría diferencial. "

En 1912-13, Einstein y Grossmann trabajaron en la primera teoría en la que la gravedad está representada por el tensor métrico, el Entwurf (boceto en alemán), pero concluyeron erróneamente que el campo gravitatorio no podía ser generalmente covariante. Brown en Reflections on Relativity opina que " este accidente puede haber sido todo lo que impidió que Grossmann fuera percibido como un co-creador de la relatividad general ", pero cita la opinión contraria de Einstein de una carta de 1915 a Sommerfeld:

" Grossmann nunca pretenderá ser co-descubridor. Solo me ayudó a guiarme a través de la literatura matemática, pero no aportó nada sustancial a los resultados " .