¿Cómo obtener números cuánticos efectivos de una combinación lineal de funciones de onda HH \ rm H-átomo?

Question

¿Cómo obtener números cuánticos efectivos de una combinación lineal de funciones de onda HH \ rm H-átomo?

Ian Angelo Aragoza

La convención para la interpretación del átomo de hidrógeno sujeto a las leyes de la mecánica cuántica es que se puede probar la cuantización de $|L|$ , $L_z$ y energía a través de números cuánticos $\ell$ , $m_\ell$ , y $n$ respectivamente. Puede verificar la función de onda con algunos parámetros como ( $n$ , $\ell$ , $m_\ell$ ) basado en los armónicos esféricos apropiados (basado en $\ell$ y $m_\ell$ ) y las soluciones radiales (basadas en $n$ y $\ell$ ). Puedes obtener $|L|$ , $L_z$ , y Energía de la siguiente manera:

L_{z} = {metro}_{ℓ} ℏ

$L_z=m_{\ell}\hbar$

| L | = \sqrt{ℓ (ℓ + 1)} ℏ

$|L|=\sqrt{\ell(\ell+1)}\hbar$

mi = \frac{- 13.6 mi V}{{norte}^{2}}

$E=\frac{-13.6 eV}{n^2}$

Si agrega diferentes funciones de onda, diga con forma

A_{0} (A_{1} Ψ_{{norte}_{1}, ℓ_{1}, {metro}_{ℓ}, 1} + A_{2} Ψ_{{norte}_{2}, ℓ_{2}, {metro}_{ℓ}, 2} + A_{3} Ψ_{{norte}_{3}, ℓ_{3}, {metro}_{ℓ}, 3} + . . .),

$A_0(A_1 \Psi_{n_1,\ell_1,m_\ell,1} + A_2 \Psi_{n_2,\ell_2,m_\ell,2} + A_3 \Psi_{n_3,\ell_3,m_\ell,3} + ...),$ Sé que esta debería ser una solución a la ecuación ya que es solo una combinación lineal de diferentes soluciones al átomo de hidrógeno. ¿Cómo haría para resolver los "números cuánticos efectivos" que tiene esta combinación lineal? ¿Existe tal cosa?

Respuestas (2)

¿Cómo obtener números cuánticos efectivos de una combinación lineal de funciones de onda HH \ rm H-átomo?

Tomas Fritsch · Answer 1

No, suponiendo que el individuo $\Psi_{nlm}$ términos son independientes del tiempo, entonces una combinación lineal como

A_{0} (A_{1} Ψ_{{norte}_{1}, {yo}_{1}, {metro}_{yo}, 1} + A_{2} Ψ_{{norte}_{2}, {yo}_{2}, {metro}_{yo, 2}} + A_{3} Ψ_{{norte}_{3}, {yo}_{3}, {metro}_{yo, 3}} + . . .)

$A_0(A_1 \Psi_{n_1,l_1,m_l,1} + A_2 \Psi_{n_2,l_2,m_{l,2}} + A_3 \Psi_{n_3,l_3,m_{l,3}} + ...)$ no es una solución de la ecuación de Schrödinger.

Dado que los términos con diferentes $n$ tener diferentes energías $E_n$ , debe tener en cuenta los factores de fase dependientes del tiempo $e^{-iE_n t/\hbar}$ .

Por ejemplo, la combinación lineal

A_{0} (A_{1} Ψ_{{norte}_{1}, {yo}_{1}, {metro}_{yo, 1}} {mi}^{- i {mi}_{{norte}_{1}} t / ℏ} + A_{2} Ψ_{{norte}_{2}, {yo}_{2}, {metro}_{yo, 2}} {mi}^{- i {mi}_{{norte}_{2}} t / ℏ} + A_{3} Ψ_{{norte}_{3}, {yo}_{3}, {metro}_{yo, 3}} {mi}^{- i {mi}_{{norte}_{3}} t / ℏ} + . . .)

$A_0(A_1 \Psi_{n_1,l_1,m_{l,1}}\ e^{-iE_{n_1}t/\hbar} + A_2 \Psi_{n_2,l_2,m_{l,2}}\ e^{-iE_{n_2}t/\hbar} + A_3 \Psi_{n_3,l_3,m_{l,3}}\ e^{-iE_{n_3}t/\hbar} + ...)$ sería una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

i ℏ \frac{d}{d t} Ψ = H Ψ .

$i\hbar\frac{d}{dt}\Psi=H\Psi.$

Medusa superrápida · Answer 2

Medusa superrápida

Los números cuánticos $n,l,m$ Etiquete los diferentes estados propios de energía posibles. Además, $n$ las etiquetas pertenecen a la función de onda radial, $l$ etiqueta la magnitud del momento angular orbital donde $m$ etiqueta uno de sus componentes.

En una superposición general, el estado ya no puede ser un estado propio del operador de momento angular hamiltoniano (y un operador de proyección del mismo). Así no hay $n,l,m$ . Todavía se pueden calcular los valores esperados de estos operadores y obtener un resultado "efectivo". $n,l,m$ como con cualquier distribución de probabilidad.

Ian Angelo Aragoza

Lo siento si parezco inexperto (este es nuestro tema actual en clase), pero ¿cómo se haría para calcular los valores esperados de estos números cuánticos? Hasta donde yo sé, para decir <n> lo calcularías con

\int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ^{*} n Ψ

$\int^{+\infty}_{-\infty} \Psi^*n\Psi$ pero no sé si n es equivalente a algún operador, o si lo que he escrito tiene algún sentido. Vuelvo a disculparme por mi inexperiencia.

Medusa superrápida

@IanAngeloAragoza no hay que disculparse al aprender! Y si. Eso en general es el cálculo del valor esperado. Ahora di

ψ (r)

$\psi(r)$ va como

e^{i r / n}

$e^{ir/n}$ (este es el caso del hidrógeno) entonces podemos diferenciarlo con respecto a

i r

$ir$ Llegar

1 / n

$1/n$ de ella y evalúe la integral. Esto nos da la expectativa de que podemos invertir para obtener <n>. Sin embargo, sabes que para el hidrógeno la energía va como

1 / n^{2}

$1/n^2$ por lo que puede extender esta definición y evaluar la expectativa de energía para obtener <n> de eso.

Medusa superrápida

Sin embargo, en el ejemplo de superposición que ha dado, la evaluación de estas expectativas es más sencilla que eso. Porque ya los ha expresado en una base ortonormal. Entonces <n>

= \sum_{i} {A_{i}}^{2} n_{i}

$=\sum_i {A_i}^2 n_i$ La utilidad de estas definiciones depende del contexto.

Ruslán

Es poco probable que la diferenciación única simple le dé buenos resultados. No te olvides de los factores como los polinomios de Laguerre para

n > 1

$n>1$ y

r^{ℓ}

$r^\ell$ para

ℓ > 0

$\ell>0$ . Una mejor manera sería expandir la base propia y simplemente obtener eso

⟨ n ⟩ = | A_{0} |^{2} (| A_{1} |^{2} n_{1} + | A_{2} |^{2} n_{2} + | A_{3} |^{2} n_{3} + \dots) .

$\langle n\rangle=|A_0|^2(|A_1|^2n_1+|A_2|^2n_2+|A_3|^2n_3+\cdots).$

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Ian Angelo Aragoza

Respuestas (2)

Tomas Fritsch

Medusa superrápida

Ian Angelo Aragoza

Medusa superrápida

Medusa superrápida

Ruslán

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