Ecuación de Peskin 6.38

Verificar esto en su totalidad es una práctica tediosa pero buena, así que aquí está el esqueleto de lo que debe hacer sin revelarlo todo:

1. Recuerde la relación de estructura fundamental $$\begin{align} \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu} \end{align}$$ donde, como siempre, hay una matriz identidad implícita en el lado derecho.
2. Las expresiones que realmente desea comparar son la expresión en la primera línea que dice $$\begin{align} -ig_{\nu\rho}(-ie\gamma^\nu)i(k_\alpha\gamma^\alpha + m)\gamma^u i (k_\beta \gamma^\beta+m)(-ie\gamma^\rho) \end{align}$$ y la expresión en la segunda línea que dice $$\begin{align} 2ie^2(k_\alpha\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta k'_\beta -2m(k+k')^\mu+ m^2\gamma^\mu) \end{align}$$
3. Es útil hacer coincidir las cosas en cada línea que no dependen de$k$y$k'$primero, y luego emparejar las cosas que sí dependen de$k$y$k'$. Por ejemplo, el término en la primera línea que no tiene$k$y$k'$en eso esta $$\begin{align} -ie^2g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho m^2 \end{align}$$ mientras que las cosas en la segunda línea que no tienen$k$y$k'$en eso esta $$\begin{align} 2ie^2m^2\gamma^\mu \end{align}$$ Estas cosas son las mismas desde $$\begin{align} g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho &= g_{\nu\rho}\gamma^\nu(\{\gamma^\mu, \gamma^\rho\} - \gamma^\rho\gamma^\mu) \\ &= g_{\nu\rho}\gamma^\nu(2g^{\mu\rho}-\gamma^\rho\gamma^\mu) \\ &= 2\gamma^\mu-g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu-\frac{1}{2}(g_{\nu\rho}\gamma^\nu\gamma^\rho + g_{\rho\nu}\gamma^\rho\gamma^\nu)\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu - \frac{1}{2}g_{\nu\rho}\{\gamma^\nu,\gamma^\rho\}\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu - \frac{1}{2}g_{\nu\rho}(2g^{\nu\rho})\gamma^\mu \\ &= 2\gamma^\mu-4\gamma^\mu \\ &= -2\gamma^\mu \end{align}$$
4. Haga algo similar (pero más tedioso) para las cosas que dependen de$k$y$k'$.