Algo de diracología en huellas

Supongamos que quiero evaluar la traza. pag α q β Tr ( γ α γ 0 γ β γ 0 ) . Usando la fórmula de trazas estándar para cuatro matrices gamma, llego a

pag α q β Tr ( γ α γ 0 γ β γ 0 ) = 4 pag α q β ( 2 gramo 0 α gramo 0 β − gramo α β )
Contraer los índices me da 4 ( pag 0 q 0 + pag ⋅ q ) cuál es la respuesta que sé que es correcta.

Pero procedamos de otra manera: Escriba

pag α q β Tr ( γ α γ 0 γ β γ 0 ) = pag α q β ( Tr ( γ α γ 0 ( − γ 0 γ β + 2 gramo 0 β ) ) ) = pag α q β ( − Tr ( γ α γ β ) + 2 Tr ( γ α γ β ) ) )
usando el álgebra de Clifford y el hecho γ 0 2 = 1 . Entonces nosotros tenemos
Tr ( pag q̸ ) = 4 pag ⋅ q = 4 ( pag 0 q 0 − pag ⋅ q )
Así que tengo un error negativo en el segundo término. ¿Me perdí un término en alguna parte?

Respuestas (1)

vas de

Tr [ γ α γ 0 ( − γ 0 γ β + 2 gramo 0 β ) ]
a
− Tr [ γ α γ β ] + 2 Tr [ γ α γ β ]
pero esto está mal. El resultado correcto es

Tr [ γ α γ 0 ( − γ 0 γ β + 2 gramo 0 β ) ] = − Tr [ γ α γ β ] + 2 gramo 0 β Tr [ γ α γ 0 ]

Finalmente, toma Tr [ γ α γ β ] = 4 gramo α β y Tr [ γ α γ 0 ] = 4 gramo α 0 :

Tr [ γ α γ 0 ( − γ 0 γ β + 2 gramo 0 β ) ] = − 4 gramo α β + 8 gramo 0 β gramo α 0
que es el mismo resultado que obtuviste primero.

¡Bien gracias! La única pregunta que tendría es, ¿por qué es γ 0 gramo 0 β = γ β ¿no es válido?
Porque en γ 0 gramo 0 β no hay una suma: el índice 0 no se contrata , sino que se fija al valor único” 0 ". Toma por ejemplo β = 1 . Entonces los lhs que tienes γ 0 gramo 01 = 0 (porque gramo 01 = 0 ) mientras que en el derecho tienes γ 1 ≠ 0 . Puedes ver que lhs ≠ rhs (si no me quedé claro por favor decirlo e intentaré explicarme mejor).
¡Sí, está claro! gracias, me acabo de dar cuenta -
γ α gramo α β = γ β = γ 0 gramo 0 β + γ i gramo i β
así que lo que escribí no es verdad. Supongo que algo tal vez más conceptualmente sin embargo: El γ m son matrices entonces ¿por qué obedecen la misma propiedad de subir/bajar con la métrica que cuatro vectores?
¡lindo! las matrices γ m (con índices más bajos) se definen como γ m ≡ gramo m v γ v . Es decir: obedecen a las mismas propiedades de subida/bajada porque las definimos . Las matrices con índices superiores están dadas por el álgebra de Clifford. Las matrices con índices más bajos se definen contrayendo con la métrica. Es solo notación.
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