¿Cómo mido el giro a lo largo de una dirección arbitraria?

Dar una vuelta$1/2$partícula con su espín apuntando a lo largo$\hat{n}$definido por

$$\hat{n}=(\sin{\phi}\cos{\theta},\sin{\phi}\sin{\theta},\cos{\phi})$$

Estamos midiendo el giro a lo largo$\hat{n}$y el operador correspondiente a este observable es$\vec{S}\cdot\hat{n}$.

$$\vec{S}\cdot\hat{n}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos{\phi} & \sin{\phi}e^{-i\theta} \\ \sin{\phi}e^{i\theta} & -\cos{\phi} \end{pmatrix}$$

Dado que, mientras tanto, esto fue etiquetado como tarea, no proporcionaré una respuesta completa. A partir de este punto, todo lo que tiene que hacer es encontrar los valores propios y los vectores propios de$\vec{S}\cdot\hat{n}$. Después de encontrar los vectores propios, debería poder llegar rápidamente a la probabilidad deseada de$\cos^{2}(\phi/2)$.