¿Cómo logra la Teoría General de la Relatividad el objetivo de mostrar que las leyes de la naturaleza tienen la misma forma en todos los marcos de referencia?

sin gravedad

• Los marcos de inercia en coordenadas cartesianas están relacionados entre sí mediante transformaciones de Lorentz. Un curso universitario "típico" en relatividad especial los explicará en detalle. Estamos interesados ​​en tensores que se transforman simplemente bajo transformaciones de Lorentz. La derivada parcial de un tensor de Lorentz es un tensor.
• Los marcos no inerciales son esencialmente iguales, matemáticamente, que los marcos en coordenadas no cartesianas. Es decir, toma un marco inercial y realiza una transformación de coordenadas general. Para manejar adecuadamente estas transformaciones de coordenadas generales, es útil introducir varios objetos geométricos. Por ejemplo, la derivada parcial de un tensor ya no es un tensor, esencialmente porque bajo una transformación de coordenadas hay un término adicional donde la derivada parcial actúa sobre la matriz jacobiana de la transformación. Así introducimos una derivada covariante, que generaliza la derivada parcial ordinaria de tal manera que se transforma como un tensor bajo transformaciones de coordenadas generales. Si bien no hay curvatura, desarrollar el aparato matemático que se necesita aquí lo lleva a un largo camino hacia la comprensión de los espacio-tiempos curvos. En particular, formular, digamos, las ecuaciones de Maxwell usando derivadas covariantes en lugar de derivadas parciales, significa que su forma se mantendrá en cualquier sistema de coordenadas, que incluye marcos de referencia no inerciales.

con gravedad

• El espacio-tiempo es curvo. Se necesita toda la maquinaria desarrollada para manejar marcos no inerciales en el espacio-tiempo plano (como las derivadas covariantes), así como objetos adicionales (como el tensor de curvatura de Riemann) que describen la curvatura espacial. Una forma de pensar en la curvatura es que es una obstrucción para encontrar coordenadas donde la métrica toma la forma de la métrica de Minkowski en todo el espacio-tiempo.

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Diría que lo que distingue a la relatividad general de la relatividad especial es la presencia de la gravedad, o la curvatura del espacio-tiempo. Así que consideraría marcos no inerciales en ausencia de gravedad como parte de la relatividad especial. Sin embargo, muchas de las herramientas matemáticas que necesita para describir marcos no inerciales, como las derivadas covariantes, también se necesitan para describir espacios-tiempos curvos.

Para mostrar que las leyes son invariantes, las escribimos en términos de objetos llamados tensores . Pero estas leyes son a menudo ecuaciones diferenciales, y las derivadas parciales en general no asignan tensores a tensores. En relatividad general (y teorías similares de la gravedad; GR es conceptualmente el más simple por dos razones clave que mencionaré pronto), las derivadas parciales$\partial_\mu$se reemplazan con derivadas covariantes $\nabla_\mu$que asignan tensores a tensores. Por ejemplo, el campo electromagnético de la relatividad especial.$\partial_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$madura a$\nabla_\mu F^{\mu\nu}=j^\nu$. El lado izquierdo se puede escribir como$\partial_\mu F^{\mu\nu}+\Gamma_{\mu\rho}^\mu F^{\rho\nu}+\Gamma_{\mu\rho}^{\nu}F^{\mu\rho}$; el$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma$son coeficientes llamados símbolos de Christoffel , que caracterizan cómo la geometría del espacio-tiempo define la diferenciación de tensor a tensor. Con esta maquinaria en su lugar, las leyes se vuelven invariantes bajo transformaciones de coordenadas generales .

Vale la pena explicar con cierto detalle cómo explicamos la gravedad, porque resulta que GR es solo una forma, aunque especialmente simple, de lograr simultáneamente el truco anterior y hacer que la geometría genere esta fuerza ficticia.

La relatividad general hace dos suposiciones que no son estrictamente necesarias para que esto funcione, pero son los casos especiales más simples de opciones más generales. (Los físicos hacen lo más simple compatible con la evidencia). Uno es tener torsión cero , lo que significa$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\Gamma_{\beta\alpha}^\gamma$. Esta suposición es suficiente para determinar los símbolos, a saber.$\Gamma_{\alpha\beta}^\gamma=\tfrac12g^{\gamma\delta}(\partial_\alpha g_{\beta\delta}+\partial_\beta g_{\delta\alpha}-\partial_\delta g_{\alpha\beta})$. La otra es tomar una forma especialmente simple para la contribución de la gravedad a la acción física .

A diferencia de las derivadas parciales, las covariantes no conmutan. sin torsión,$[\nabla_\alpha,\,\nabla_\beta]V_\gamma=R_{\alpha\beta\gamma\delta}V^\delta$define coeficientes$R_{\alpha\beta\gamma\delta}$, conocido como el tensor de Riemann . (Con torsión, también habría un múltiplo de la derivada covariante del vector en el lado derecho). La contratación del primer y tercer índice forma el tensor de Ricci $R_{\beta\delta}=R_{\alpha\beta\gamma\delta}g^{\alpha\gamma}$, y al contraer los índices restantes se obtiene el escalar de Ricci $R=R_{\alpha\beta\gamma\delta}g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}$. En relatividad general, la causa de la gravedad es sumar un múltiplo de$R$a la densidad escalar lagrangiana . En teoría, se podría agregar algo más complicado .

Si bien es solo una analogía, porque las matemáticas no son las mismas, podemos pensar en alguien que vive muy cerca del polo norte.

Si toma 2 ejes ortogonales arbitrarios, cualquier línea recta tiene una expresión lineal. El eje arbitrario se puede girar y las coordenadas se cambian en consecuencia. Esto es análogo al espacio-tiempo de Minkowski en SR, y la matriz de rotación es análoga a las transformaciones de Lorentz.

O puede usar coordenadas polares con centro en el polo. Eso es análogo a un marco de referencia acelerado en SR, en el sentido de que la ecuación de una línea recta con la variable$r$y$\theta$son no lineales (como sucede con$t$y$h$para un objeto que cae dentro de un marco acelerado). Sin embargo, el hecho de que podamos cambiar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas es análogo a cambiar de un marco acelerado al marco (Minkowskiano) del objeto en caída libre. No es una transformación de Lorentz, el tensor métrico cambia, pero sin embargo es un cambio de coordenadas relativista.

Hasta ahora, estamos en el reino SR. Pero si nuestras trayectorias son lo suficientemente largas y no tan cercanas al polo, la curvatura de la tierra debe ser tomada en consideración. Lo más cercano a las coordenadas cartesianas son las proyecciones de mapas en una superficie plana, donde las distancias y las áreas se distorsionan inevitablemente. Las líneas que son geodésicas en el globo no son necesariamente rectas en este mapa. Esto es análogo a un marco en un objeto en caída libre pero lejos de la superficie terrestre. Otros objetos en caída libre no tienen la misma velocidad desde su perspectiva, porque la aceleración de la gravedad cambia con la altitud. Aun así, es posible cambiar marcos y coordenadas según el principio de relatividad. La diferencia con SR es que ninguno de ellos es minkowskiano.

En términos simples, debe expresar las matemáticas de la relatividad general en términos de cantidades geométricas que se definen (o al menos se pueden definir) sin ninguna referencia al sistema de coordenadas.

Tomemos por ejemplo la ley de la gravedad de Newton. Puedes escribirlo como

$$m\ddot{x} = -G\frac{mM}{r^3}x$$ $$m\ddot{y} = -G\frac{mM}{r^3}y$$ $$m\ddot{z} = -G\frac{mM}{r^3}z$$ o en lenguaje geométrico $$m\ddot{\vec{r}} = -G\frac{mM}{r^3}\vec{r}.$$ La última formulación tiene la ventaja de ser independiente de las coordenadas, porque el vector$\vec{r}$es un objeto que está bien definido incluso si no tenemos coordenadas de ningún tipo. Escrita así, la ley mantiene su forma trivialmente bajo cualquier transformación de coordenadas.

Lo mismo sucede en la relatividad general, solo que usamos objetos un poco más complicados que los vectores, como tensores, formas, etc.

Pero la cuestión es que casi siempre se puede expresar cualquier ley en lenguaje geométrico, por lo que ser capaz de demostrar que las leyes de la naturaleza mantienen su forma bajo la transformación de coordenadas no tiene sentido estrictamente hablando.

Imagine la ley de la gravedad en la forma

$$m\ddot{x} = -G\frac{mM}{r^3}x$$ $$m\ddot{y} = -G\frac{mM}{r^3}$$ $$m\ddot{z} = -G\frac{mM}{r^3}.$$ A primera vista, esto podría parecer una ley dependiente de coordenadas. Pero podrías reescribirlo en lenguaje geométrico como $$m\ddot{\vec{r}} = -G\frac{mM}{r^3}\left[\left(\vec{r}\cdot \vec{n}_x\right)\vec{n}_x+\vec{n}_y+\vec{n}_z\right],$$ dónde$\vec{n}_x,\vec{n}_y,\vec{n}_z$son vectores unitarios en algunas direcciones preferidas. Esto se define de manera abstracta sin ninguna referencia a ningún sistema de coordenadas y, por lo tanto, la forma de la ley es la misma en todos los sistemas de coordenadas. Sin embargo, necesitamos introducir direcciones especiales en nuestro espacio.

Entonces, el verdadero significado de poder escribir la ley en forma independiente de coordenadas es ser explícito en todas las estructuras que se supone que están en su espacio (o espacio-tiempo). Esto hace que sea más fácil decidir si la ley que se te ocurrió es sensata o no simplemente observando si las estructuras que necesita son razonables. Sin la forma libre de coordenadas, es posible que no se dé cuenta de alguna estructura que introdujo que no está justificada físicamente y que es preferible una dirección de investigación diferente.

En particular, no desea ninguna dirección preferida en la relatividad general, por lo que la ley no debería depender de ningún vector predefinido en el espacio-tiempo. Esto reduce la cantidad de objetos matemáticos que puede usar para escribir sus ecuaciones de campo.