¿Necesitamos una propiedad de conjugación compleja para el producto interno, no solo una propiedad lineal-antilineal?

Dejar H sea ​​un espacio vectorial complejo y < , >: H × H → C un mapa que tiene las siguientes propiedades:

  1. Lineal en el primer argumento

  2. Conjugado (o anti-) lineal en el segundo argumento

  3. Definido positivo, es decir, < v , v > siempre es no negativo y, en particular, positivo si y solo si v ≠ 0

Entonces, ¿cuál es el problema con esto? < , > ?

Lo único que falta es que NO impuse < v , w >= < w , v > ¯ . Sin embargo, no encuentro nada que me impida proclamar que se trata de un producto interior.

¿Alguien podría dar más detalles?

Respuestas (1)

No hay nada malo. puedes derivar ⟨ v , w ⟩ = ⟨ w , v ⟩ ¯ de sus suposiciones:

de expandirse ⟨ v + w , v + w ⟩ − ⟨ v , v ⟩ − ⟨ w , w ⟩ ∈ R tenemos ⟨ v , w ⟩ + ⟨ w , v ⟩ ∈ R , entonces

Soy ⁡ ⟨ v , w ⟩ = − Soy ⁡ ⟨ w , v ⟩ .
reemplazando w por i w , tenemos
Soy ⁡ ⟨ v , i w ⟩ = − Soy ⁡ ⟨ i w , v ⟩ .
Pero LHS es Soy ⁡ ( − i ) ⟨ v , w ⟩ = − Re ⁡ ⟨ v , w ⟩ y RHS es − Soy ⁡ i ⟨ w , v ⟩ = − Re ⁡ ⟨ w , v ⟩ . Entonces ⟨ v , w ⟩ y ⟨ w , v ⟩ tienen partes reales iguales y partes imaginarias opuestas, es decir, son complejos conjugados.

Ah, claro. ¡Muchas gracias por su respuesta!
¿Necesitamos una propiedad de conjugación compleja para el producto interno, no solo una propiedad lineal-antilineal?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v