¿Cómo 'cambian' las unidades cuando pasamos al lenguaje de las formas diferenciales?

Usted es perfectamente libre de asignar unidades de longitud a$dx$y unidades de longitud inversa a$\partial_x$.

Esto no cambia nada de la conclusión del análisis dimensional, como podemos ver en varios ejemplos. Primero, esta asignación da unidades adicionales de$(\text{length})^{n-m}$clasificar$(m, n)$tensores, es decir, aquellos con$n$índices covariantes y$m$índices contravariantes. Pero dado que siempre igualamos tensores del mismo rango en ecuaciones covariantes, estas unidades simplemente se cancelan. Nos quedamos solo con las unidades de los componentes del tensor, que por definición son las mismas que antes.

Las operaciones de tensor no estropean esto. Por ejemplo, siempre podemos contraer un índice covariante y contravariante, convirtiendo un rango$(m, n)$tensor de rango$(m-1, n-1)$, pero esto no cambia las unidades. Además, podemos integrar formas diferenciales, pero esto también funciona perfectamente. Por ejemplo, en la notación habitual,

$$W = \int \mathbf{F} \cdot d \mathbf{x}$$ lo que nos dice que$W$tiene las dimensiones de fuerza por longitud. Pero en notación de forma diferencial, $$W = \int_\gamma f, \quad f = F_i \ dx_i.$$ Los componentes de la forma diferencial de fuerza$f$tienen dimensiones de fuerza, mientras que$dx_i$tiene unidades de longitud, entonces$W$tiene unidades de fuerza por longitud de nuevo.