¿Cómo explicar intuitivamente que alcanzar órbitas geoestacionarias consuma más Delta V que las órbitas de escape?

Question

¿Cómo explicar intuitivamente que alcanzar órbitas geoestacionarias consuma más Delta V que las órbitas de escape?

Espacio
delta-v
transferencia hohmann
maniobra-orbital
mecánica-orbital

Julio

Estudiando nuevamente las maniobras orbitales, encontré lo siguiente que representa el costo de una transferencia de Hohmman entre órbitas circulares coplanares (línea negra), en términos de $\Delta V$ contra la relación de la órbita $r_f/r_i$ .

Me sorprende encontrar un máximo $\Delta V$ a aproximadamente $r_f/r_i=15.58$ . Como se puede observar en la figura, existe una gama de $r_f/r_i$ valores por encima del costo de la velocidad de escape, $\sqrt{2}$ . Por ejemplo, alcanzar una órbita geoestacionaria desde LEO (asumiendo $h=300$ kilómetros), $r_f/r_i=6.3139$ es más o menos el mismo costo para poner una nave espacial en la misma órbita de la Luna $r_f/r_i=54.2977$ .

¿Existe alguna explicación intuitiva para este comportamiento "aparentemente" contra-intuitivo?.

Fuente de la trama: https://www.reddit.com/r/KerbalSpaceProgram/comments/1ajru7/i_was_curious_about_the_delta_v_requirements_for/

NOTA: solo se considera la gravedad de la Tierra para tomar la trama

BONIFICACIÓN: la función de línea negra se puede definir matemáticamente de la siguiente manera; Los impulsos necesarios son

$\Delta V_1=\sqrt{\frac{2 \mu}{r_i}-\frac{2 \mu}{r_i+r_f}}-\sqrt{\frac{\mu}{r_i}}$ ,

$\Delta V_2=\sqrt{\frac{\mu}{r_f}}-\sqrt{\frac{2 \mu}{r_f}-\frac{2 \mu}{r_i+r_f}}-$ ,

siendo el impulso total de la transferencia de Hohmman dado por $\Delta V=\Delta V_1 + \Delta V_2$ . Si uno divide los incrementos de velocidad por la velocidad inicial $V_i=\sqrt{\mu/r_i}$ se obtiene

$\frac{\Delta V_1}{V_i}=\sqrt{2-\frac{2r_i}{r_i+r_f}}-1$ ,

$\frac{\Delta V_2}{V_i}=\sqrt{\frac{r_i}{r_f}}-\sqrt{\frac{2r_i}{r_f}-\frac{2r_i}{r_i+r_f}}$ ,

definiendo $\lambda=r_f/r_i$ (nótese que esta es la variable del eje x de la gráfica), y operando

$\frac{\Delta V_1}{V_i}=\sqrt{\frac{2\lambda}{1+\lambda}}-1$ ,

$\frac{\Delta V_2}{V_i}=\sqrt{\frac{1}{\lambda}}-\sqrt{\frac{2}{\lambda(1+\lambda)}}$ ,

y el costo total expresado como una función de $\lambda$ es

$\frac{\Delta V}{V_i}=\frac{\Delta V_1}{V_i}+\frac{\Delta V_2}{V_i}=\sqrt{\frac{2\lambda}{1+\lambda}}(1-\frac{1}{\lambda})+\sqrt{\frac{1}{\lambda}}-1$ ,

que es la expresión analítica de la línea negra en el gráfico.

UH oh

¿Cuál es la fuente de la trama? ¿Puedes agregar un enlace o una cita?

Julio

He tomado este de reddit. Esta es una gráfica típica que aparece en casi todas las secciones de maniobras de Mecánica Orbital de cualquier libro de texto para estudiantes.

UH oh

¡Gracias por la edición! Eso ayuda a los lectores como yo, que están menos versados en el campo pero tienen curiosidad por aprender más. También es bueno dar crédito a los creadores de las imágenes que usamos.

Julio

Notario público. Cuando tenga tiempo, leeré con más detalle las respuestas publicadas y también editaré la pregunta para agregar el desarrollo matemático que explica la línea negra de la trama.

usuario20636

"Geoestacionario" es un poco una cortina de humo, ya que, dependiendo de la masa de los objetos principales, la velocidad de giro y la órbita inicial, llegar allí puede ser menos que escapar o imposible.

usuario20636

Es una continuación de llegar a la órbita, no se trata de subir, se trata de ir hacia los lados muy rápido.

Respuestas (4)

¿Cómo explicar intuitivamente que alcanzar órbitas geoestacionarias consuma más Delta V que las órbitas de escape?

¿Cuál es la fuente de la trama? ¿Puedes agregar un enlace o una cita?
He tomado este de reddit. Esta es una gráfica típica que aparece en casi todas las secciones de maniobras de Mecánica Orbital de cualquier libro de texto para estudiantes.
¡Gracias por la edición! Eso ayuda a los lectores como yo, que están menos versados en el campo pero tienen curiosidad por aprender más. También es bueno dar crédito a los creadores de las imágenes que usamos.
Notario público. Cuando tenga tiempo, leeré con más detalle las respuestas publicadas y también editaré la pregunta para agregar el desarrollo matemático que explica la línea negra de la trama.
"Geoestacionario" es un poco una cortina de humo, ya que, dependiendo de la masa de los objetos principales, la velocidad de giro y la órbita inicial, llegar allí puede ser menos que escapar o imposible.
Es una continuación de llegar a la órbita, no se trata de subir, se trata de ir hacia los lados muy rápido.

Hobbes · Answer 1

Intuitivamente: pasar de una órbita circular a otra requiere dos quemados: uno para subir el apogeo y otro para subir el perigeo.

Para lograr el escape, debe elevar el apogeo hasta que su órbita se 'rompa' de una elipse a una trayectoria de escape. Por lo tanto, una quemadura más larga que eleva el apogeo, pero no necesita una quemadura que eleva el perigeo.

Tal vez pueda completar su pregunta diciendo que la segunda quema en el apogeo para una órbita altamente excéntrica es extremadamente barata ya que está muy lejos del planeta.

SF. · Answer 2

Comencemos en el punto que es común a las dos maniobras: estamos en el perigeo de GTO - órbita de transferencia de Hohmann desde LEO (¡o incluso vuelo suborbital!) a GEO; una órbita alargada con un perigeo de ~200-300 km y un apogeo de 36 000 km. A partir de ese momento, podemos circular en el apogeo de GEO o continuar nuestra quema en el perigeo para escapar.

el cambio de apogeo es muy barato para órbitas muy excéntricas. Escape burn es, en esencia, hacer que la órbita sea infinitamente excéntrica.

¿Por qué? Porque cuanto más lejos de la Tierra, más débil es la gravedad, ¡en proporción cuadrática! $F = G {{m_1 m_2} \over {r^2}}$ la $^2$ a $r$ significa que la fuerza de la gravedad cae cuadráticamente con la distancia. Mucho menos ganancia de energía potencial, por lo que se necesita menos energía cinética / delta-V. Pasar de una órbita circular de 500 km a una elíptica de 500/1000 km requiere mucha más energía que pasar de 500 km/36 000 km (GTO) a 500 km/37 000 km, porque a 36 000 km la gravedad es mucho más débil que mover el cohete hacia afuera es mucho más fácil .

Agregue a ese efecto Oberth. $E_k = {1 \over 2} m v^2$ - eso $^2$ es jodidamente importante aquí. Si te mueves a 8 km/s y agregas otros 2 km/s, pasas de 64 [unidades de energía] a 100 [unidades], una ganancia de 36. Pero si pasas de 12 km/s a 14 km/s, lo mismo delta-V! - pasamos de 144[unidades] a 196 - una ganancia de 52 unidades de energía - cinética en el perigeo, pero potencial en el apogeo. Estas cosas se combinan: cambiar el apogeo de la altitud de GEO a "infinito"/escape mientras se mantiene el perigeo bajo cuesta maní.

Ambos ya tienen una gran velocidad en el perigeo, por lo que se benefician de Oberth, y están luchando contra la gravedad que disminuye rápidamente, la órbita crece a pasos agigantados con una inversión minúscula. Delta-V necesario es pequeño.

los costos de circularización para órbitas medianas son significativos.

La velocidad orbital de GEO es de unos 3 km/s. Después de todo, debes dar la vuelta a la Tierra en 24 horas, en un círculo de 36 000 km de radio; debes moverte bastante rápido para eso. Moon hace un círculo que tarda casi un mes, pero la velocidad cae a alrededor de 1 km/s. Muévase al borde de la esfera Hill, siéntese en el punto lagrangiano Tierra-Sol L1 y su velocidad orbital alrededor de la Tierra se reduce a 0. Pero GEO es mucho más bajo, y por lo tanto, sigue siendo bastante rápido, aunque mucho más lento que los aterradores 8 km/s. de LEO.

Y si estás en el apogeo de una órbita fuertemente elíptica, estás arrastrándote a paso de tortuga: eres una roca lanzada hacia arriba y que se demora antes de caer. Eso significa que, para circularizar, debe gastar casi el valor total de la velocidad orbital de la órbita circular en el delta-V de su nave espacial. Debe pasar de ese rastreo desde la órbita de transferencia de Hohmann desde LEO a 3 km / s a través de una quemadura larga y dura. Lo cual, si lo hubiera realizado en el perigeo, para la misma órbita de transferencia, lo llevaría a una trayectoria mucho más allá de Marte.

PearsonArteFoto · Answer 3

La mejor explicación que he escuchado es esta. El problema es muy similar, aunque a un nivel más amplio, a comparar lanzar una pelota a 500 km versus orbitar la Tierra a 200 km. Se necesita mucha más energía para orbitar la Tierra. La diferencia es menor para el geoestacionario frente a la velocidad de escape, pero el principio es el mismo.

Una explicación más detallada: tiene que ver con el efecto Oberth , que establece que las quemaduras son más eficientes si uno se mueve más rápido, para maniobras orbitales básicas. La velocidad es más rápida cerca de un cuerpo, por lo que es más eficiente. La velocidad es un poco menor en el otro extremo de una órbita GTO y, por lo tanto, se necesita más combustible para detenerse. Esto ni siquiera tiene en cuenta la eliminación de la inclinación, que se requiere para ser útil.

Para mostrar esto un poco mejor, jugué con Kerbal Space Program. Aquí está el resultado:

En pocas palabras, solo se requiere un poco más de combustible para escapar, pero pierdes el efecto Oberth cuando estás lejos e intentas circularizar.

"No hay una muy buena explicación". Puedo entender decir que no puedes pensar en uno, o que nunca te has encontrado con uno. Pero, ¿realmente puedes decir que no existe?
@PearsonArtPhoto, no entiendo la relación con el efecto Oberth ya que tanto una transferencia de LEO a GEO como la Luna tienen la misma órbita de salida.... Además, la órbita GEO está más cerca de la órbita de la Luna, lo que implica un efecto Oberth supuestamente mayor al hacer el segundo impulso.... pero tal vez entendí algo mal
El efecto Oberth para ir a la Luna en realidad se amplifica debido a que la gravedad de la Luna se sumará a la velocidad, dando una combustión más eficiente.
En realidad sí, pero el modelo empleado (problema de un solo cuerpo), para trazar la figura, no considera en absoluto la gravedad de la Luna, solo la atracción de la Tierra.
Sí, algo parece un poco extraño en este gráfico en realidad... Hmmm... GTO debería ser menos combustible que la Luna, pero eso podría no tener en cuenta el cambio de inclinación.
Una forma de ver cuán importante es el efecto Oberth aquí es hacer la misma aritmética en Júpiter. Ahí verás un gran impacto.
Técnicamente, no te detienes cuando entras en GEO, en realidad aceleras para transformar el GTO elíptico en una órbita circular. También cuesta un poco más alcanzar la velocidad de escape que GTO, no al revés.
"La velocidad es un poco menor en el otro extremo de una órbita GTO y, por lo tanto, se necesita más combustible para detenerse". Digamos que la transferencia de Hohmann es a una órbita circular de 500 000 km. La quema de circularización es de aproximadamente 0,7 km/s (frente a una quema de circularización de 1,6 GTO en el apogeo). La velocidad al final de esta transferencia hipotética es mucho menor que GTO
Hice un ejemplo un poco mejor con KSP, con suerte eso ayuda a algunos.
Me encanta cómo KSP es en realidad un medio decente para responder cosas "pseudoprecisas" con imágenes.

UH oh · Answer 4

UH oh

Aunque no se indica, la pregunta tiene una suposición implícita que es falsa, que el cambio de energía escala monótonamente con delta-v.

delta-v está relacionado con el impulso , no con la energía. Nunca se debe esperar que haya una correspondencia 1:1 entre el cambio de energía (un escalar) y el cambio de momento (un vector).

Considere una maniobra de descenso de la órbita que usa mucho delta-v y, sin embargo, reduce la energía de la órbita.

La pregunta parece más sutil porque hay múltiples maniobras delta-v involucradas, pero al comparar la energía de escape con la órbita límite, todavía se mezcla la energía con el impulso.

UH oh

Siéntase libre de votar negativamente, pero agregue un comentario por qué. Por favor, tenga en cuenta que

a > b

$a > b$ no necesita una "explicación intuitiva" si no hay razón para

a

$a$ tener alguna relación particularmente simple con

b

$b$ para empezar. Eso sería falsa intuición, o fauxtuition .

MSalters

No es mi voto negativo, pero físico aquí: delta-v es un escalar. Si va a discutir "escalar versus vector", entonces delta-v caería en el mismo lado escalar que la energía.

UH oh

@MSalters Eso no está bien. Las maniobras Delta-v son siempre vectores y siempre tienen una dirección específica. En una dirección (progrado) "subes" una órbita, en otra dirección (retrógrado) la "bajas", y en una tercera dirección (perpendicular) cambias el plano sin afectar la forma o la energía en absoluto.

Julio

Pero en este caso (transferencias de Hohmman), el Delta-V es tangencial a la velocidad de la órbita (maximizando así la velocidad final resultante) y dado que

E \sim V^{2}

$E \sim V^2$ Creo que es un pensamiento intuitivo (aunque erróneo) "asumir" una relación monótona entre Delta-V con la energía. Creo que el problema es que hay dos impulsos involucrados en lugar de uno.

UH oh

@Julio No, eso también es parcialmente incorrecto. Esta pregunta es sobre una transferencia de Hohmman bi-elíptica , donde una de las quemaduras está en la dirección opuesta a las otras dos. Incluso para una transferencia estándar de Hohmman, si va a una órbita más baja (por ejemplo, Venus desde la Tierra), las quemaduras también son retrógradas y antiparalelas a la velocidad. El momento es un vector. Trátelo como si no fuera bajo su propio riesgo.

Tomás

@uhoh No existe tal cosa como una "transferencia Hohmman [sic] bi-elíptica". Un Hohmann no es un bi-elíptico, y un bi-elíptico no es un Hohmann. Mira el artículo que vinculaste.

UH oh

@Tom, sí, de vez en cuando me pongo un poco creativo con la terminología. Una vez traté de usar "empuje" para hablar sobre "escape" (escape simplemente no me suena lo suficientemente rápido como una palabra para representar algo que se mueve a 3 km / seg) y me golpeó fuertemente en los nudillos a través de ASCII. Por alguna razón, siempre imagino una órbita circular virtual (y por lo tanto energéticamente imposible) de longitud cero en el punto donde las dos elipses son tangentes. Dado que hay dos maniobras delta-v consecutivas "simuladas" simultáneamente, solo hay un delta-v en el mundo real, igual a la diferencia. Esto funciona para mi...

UH oh

@Tom ... pero no es "correcto" para personas entrenadas de manera convencional. Podría escribir sobre ello si alguien publicara una pregunta como "¿Cómo podría tratarse matemáticamente una transferencia bielíptica como dos transferencias de Hohmann?"

¿Cómo explicar intuitivamente que alcanzar órbitas geoestacionarias consuma más Delta V que las órbitas de escape?

Julio

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