¿Cómo entender el fermión de worldsheet como una sección?

En general, el paquete canónico$K$es el paquete de n-formas en una variedad n-dimensional. Desde su superficie de Riemann$\Sigma$es unidimensional (complejo), es solo el paquete (línea) de formas únicas holomorfas. La raíz cuadrada"$K^{\frac{1}{2}}$es el conjunto de cosas que se transforman de una manera que es una especie de raíz cuadrada de la transformación de las formas holomorfas. Así que si, bajo una transformación de coordenadas de hoja mundial (donde$z$es una coordenada local en$\Sigma$)

$$z\rightarrow e^{i\alpha}z$$ una forma se transforma como $$\omega\rightarrow e^{i\alpha}\omega$$ entonces, para la raíz cuadrada, queremos algo transformador como $$\psi\rightarrow e^{i\frac{\alpha}{2}}\psi$$ Este es solo un espinor de hoja de mundo para diestros. Si es RH, se denota $\psi_{+}$y si, en cambio, se transformara con un $-\frac{\alpha}{2}$, es LH y se denota $\psi_{-}$

Ahora también quiere que su entidad tome valores en el paquete$\phi^{*}(TX)$.

$\phi:\Sigma\rightarrow X$es una incrustación. Pensando en$\phi^{i}$;$i=1..N$(dónde$N$es la dimensionalidad de$X$) como coordenadas en$X$, entonces su objeto deseado tiene un índice de espacio de destino. Entonces, por ejemplo, la versión para diestros de los componentes sería$\psi^{i}_{+}$, y la sección es

$$\psi^{i}_{+}(z)\frac{\partial}{\partial \phi^i}$$

Los espinores son secciones del haz de espinores. La descomposición dada por Witten del haz de espinor es válida en las variedades de Kähler de las que las superficies de Riemann constituyen casos especiales. El haz de espinor tiene un grupo de estructura$SO(2N)$, dónde$N$es la dimensión compleja de la variedad de Kähler$M$. Este grupo se reduce a U(N) debido a la existencia de una estructura Kähler. (Esto significa que cuando uno escribe la ecuación de Dirac del espacio curvo en$M$, tiene la forma de una ecuación de Dirac calibrada en espacio plano acoplada a un campo de calibre U(N)).

El espacio de secciones del haz espinor pertenece a$2^N$representación dimensional del espinor de$SO(2N)$. Esta representación se descompone en una suma directa de todas las representaciones antisimétricas del$SU(N)$Factor de$U(N)$bajo la reducción del grupo de estructura. Por lo tanto, desde el punto de vista del conteo de dimensiones, el$2^N$el espacio de representación espinorial dimensional es isomorfo al álgebra exterior$\Lambda^{(0, *)}(M)$del haz tangente holomorfo.

La aparición de la raíz cuadrada del paquete canónico se debe a que la contribución de la$U(1)$Factor de$U(N)$grupo a la ecuación de Dirac es una conexión abeliana cuya curvatura es justo$\frac{N}{2}$veces la estructura de Kähler. Esta parte proporciona el giro.$\frac{1}{2}$Carácter de los campos de fermiones.