¿Por qué cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α) sin⁡(β)\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta)−\sin(\alpha)\sin(\beta)?

1. La rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\alpha$es una transformación lineal con matriz$\left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)$

2. La rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\beta$es una transformación lineal con matriz$\left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right)$

3. La rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\alpha+\beta$es una transformación lineal con matriz$\left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$

4. La rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\alpha+\beta$es la composición de la rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\alpha$y la rotación de$\mathbb R^2$a través del ángulo$\beta$.

5. La matriz de la composición de dos transformaciones lineales es el producto de matrices de estas transformaciones.

6. Entonces

   $$\left( \begin{matrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha &\cos\alpha \end{matrix}\right)\cdot \left( \begin{matrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta &\cos\beta \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} \cos(\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) &\cos(\alpha+\beta) \end{matrix}\right)$$

7. Entonces, en particular,

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

También puedes simplemente probarlo usando números complejos:

Al identificar las partes real e imaginaria obtenemos

Por supuesto que necesita conocimientos básicos sobre números complejos, pero si ya sabe todo esto, generalmente es muy rápido probar la mayoría de estas fórmulas trigonométricas engorrosas con números complejos como lo que hice aquí.

También puedes probarlo usando un lema simple:

Dejar$f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ser dos veces diferenciable, tal que$f''=-f$. Entonces$f(x) = f(0)\cos x + f'(0) \sin x$.

De hecho, si$g(x)= f(x) - f(0)\cos x - f'(0)\sin x$, entonces$g''=-g$y$g(0)=g'(0)=0$. Pero$(g'^2+g^2)' = 2 g'(g''+g) = 0$, por eso$g'^2+g^2$es una constante, que es$0$por su valor en$x=0$. Por eso$g(x)=0$en todos lados.

Aplicando esto a$f(x) = \cos(x+\beta)$, tenemos$f(0) = \cos\beta$y$f'(0) = -\sin\beta$, por eso

En el caso de$h(x) = \sin(x+\beta)$, tenemos$h(0) = \sin\beta$y$h'(0) = \cos\beta$, por eso

Girando el círculo unitario en un ángulo de$b$podemos ver que el punto$(cos(a-b),sin(a-b))$mapas a$(cos(a),sin(a))$y el punto$(1,0)$mapas a$(cos(b),sin(b))$.

Dado que las rotaciones preservan las distancias, la distancia entre los puntos$(cos(a-b),sin(a-b))$y$(1,0)$es igual a la distancia entre los puntos$(cos(a),sin(a))$y$(cos(b),sin(b))$. La fórmula de la distancia entonces da:

$\sqrt{(cos(a-b)-1)^2+(sin(a-b)-0)^2}=\sqrt{(cos(a)-cos(b))^2+(sin(a)-sin(b))^2}$

Con mucho menos esfuerzo de lo que piensas (y usando$sin(x)^2+cos(x)^2=1$tres veces), se llega a la identidad deseada

Una matriz representa una transformación lineal. Cada una de sus columnas contiene las coordenadas de la base transformada. Para aplicarlo a un vector, multiplique cada columna de la matriz por la coordenada correspondiente (coordenada x para la primera columna, etc.) y sume los resultados. Aplicar una matriz a una matriz es aplicar la matriz de la izquierda a cada columna (vector base) de la matriz de la derecha. Esto se reduce a la regla de "multiplicar fila por columna".

Para ver que las columnas de la matriz forman una base transformada en el caso de una rotación, considere que la primera columna contiene las coordenadas$\cos \alpha$y$\sin \alpha$del$\mathbf i$vector girado por$\alpha$. La segunda columna es la primera columna girada por$\pi / 2$. Por ejemplo, para un$\pi / 4$rotación, su primera columna será$(1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2)^T$.

El álgebra lineal hecha mal, de Sergei Treil, establece estos principios desde el principio.