¿Cómo encontrar el punto de equilibrio de un sistema que tiene forma de cuenco y una masa dentro del cuenco con una función de energía potencial dada?

el campo de fuerza$\mathbf E$viene dado por el negativo del gradiente del potencial$V$asociado a ese campo. Matemáticamente

$$\begin{align} \mathbf E&=-\nabla V\\ \mathbf E&=-\left(\frac{\partial V}{\partial x} \mathbf{\hat i}+\frac{\partial V}{\partial y} \mathbf{\hat j}+\frac{\partial V}{\partial z} \mathbf{\hat k}\right) \end{align}$$

Ahora puedes resolver fácilmente el problema encontrando los puntos donde$\mathbf E=0$. Estos serían los puntos de equilibrio.

Tenga en cuenta que la fórmula anterior también se puede generalizar a$n$-dimensiones como esta:

$$\mathbf E=-\sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial q_i} \mathbf {\hat{e}_i}$$

dónde$q_i$es$i$-ésima dimensión y$\mathbf {\hat{e}_i}$es el vector unitario que apunta en la dirección del$i$-ésimo eje.

En 2 dimensiones, usamos la función de gradiente. En coordenadas cartesianas viene dada por

$$\mathbf{F} = - \nabla U = - \begin{bmatrix} \frac{\text{d} F}{\text{d} x} \\ \frac{\text{d} F}{\text{d} y} \end{bmatrix}$$ Luego tienes que resolver las 2 ecuaciones diferenciales para obtener las ecuaciones de movimiento.

El punto de equilibrio corresponde al mínimo o al máximo del potencial. Para encontrarlo es necesario resolver las ecuaciones obtenidas poniendo a cero todas las derivadas parciales de este potencial:

$$\mathbf{F} = \nabla\cdot\partial U(\mathbf{r}) = 0 \Leftrightarrow F_\alpha = \frac{\partial U(\mathbf{r})}{\partial x_\alpha}=0.$$