Ángulos en equilibrio estático

Puedes eliminar el ángulo.$\alpha$de las ecuaciones con el truco las otras respuestas te dan ^* . Pero entonces terminarás con una ecuación de la forma

$$A \cos \beta + B \sin \beta + C = 0$$

Para resolver esto haz la siguiente transformación

$$\left. \begin{align} A & = R \cos \psi \\ B & = R \sin \psi \end{align} \right\} \begin{aligned} R & = \sqrt{A^2+B^2} \\ \psi & = \arctan\left( \frac{B}{A} \right) \end{aligned}$$

la ecuacion es ahora

$$cos\beta\cos\psi + \sin\beta \sin\psi = \cos(\beta-\psi) = -\frac{C}{R}$$

que se resuelve para

$$\begin{split} \beta & = \arccos\left( -\frac{C}{R} \right) + \psi \\ & = \arccos\left( -\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right) + \arctan\left( \frac{B}{A} \right)\end{split}$$

_{notas al pie:}

• hacer las ecuaciones de esta forma $$\begin{align} \cos \alpha & = a \cos\beta+c_x \\ \sin \alpha & = -a \sin \beta + c_y \end{align}$$
• cuadrar ambos lados y sumarlos para $$1 = 2 a c_x \cos\beta - 2 a c_y \sin\beta + c_x^2 + c_y^2 +a^2$$ $$\left(2 a c_x\right) \cos\beta + \left(- 2 a c_y\right) \sin\beta + \left(c_x^2 + c_y^2 +a^2-1\right) = 0$$
• Coincidir con el$A$,$B$y$C$coeficientes
• Una vez$\beta$se conoce, luego divida las dos ecuaciones anteriores para $$\tan \alpha = \frac{c_y - a \sin\beta}{c_x + a \cos\beta}$$

Editar 1

Aquí está la solución real:

$$\left. \begin{align} -313.9 \cos(\alpha) + 619 \cos(\beta) + 60 & = 0 \\ 313.9 \sin(\alpha) + 619 \sin(\beta) - 882.9 & = 0 \end{align} \right\} \begin{aligned} 313.9 \cos(\alpha) & = 619 \cos(\beta) + 60 \\ 313.9 \sin(\alpha) & = - 619 \sin(\beta) + 882.9 \end{aligned}$$

Cuadre y sume las dos ecuaciones (en cada lado) para obtener

$$\left. 98533.21 = 74280 \cos(\beta) - 1093030.2 \sin(\beta) + 1166273.41 \right\}\\ 74280 \cos(\beta) - 1093030.2 \sin(\beta) + 1067740.2 = 0$$

$$\begin{aligned} \beta & = \arccos\left( -\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2}} \right) + \arctan\left( \frac{B}{A} \right) \\ A & = 74280\\ B & = -1093030.2 \\ C & = 1067740.2\\ \beta &= 1.41284652 = 80.9501426° \\ \end{aligned}$$

Finalmente,$\alpha$se puede resolver con la segunda ecuación:

$$\sin(\alpha) = 2.81267919-1.97196559 \sin(\beta)$$ $$\alpha = 1.04567064 = 59.9125144°$$

Ahora puedes conectar los valores de$\alpha$y$\beta$en las dos ecuaciones originales para confirmar que equilibra las fuerzas.

Este es un truco de solución típico cuando tienes un sistema que involucra seno y coseno del mismo ángulo desconocido: reorganiza las ecuaciones para que tengas

$$\cos\alpha = stuff$$ y $$\sin\alpha = other stuff.$$ Eleva al cuadrado estas ecuaciones y súmalas. El ángulo $\alpha$se elimina porque $$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.$$

En su caso, es bueno que los coeficientes de ambos$\alpha$términos son los mismos, y también en ambos$\beta$términos. Puede usar una fórmula de doble ángulo para el resto$\beta$términos para resolver$\beta.$Entonces puedes resolver para$\alpha$. Recuerda esa herramienta y enséñasela a alguien más.