Estime la fuerza de reacción en cada pata de una mesa de 4 patas

Suponga que tiene una mesa con cuatro patas con un peso colocado en algún lugar dentro del límite creado por las patas. La tarea es determinar la fuerza de reacción en cada pierna. Aquí están las restricciones del problema...

1. La suma de las cuatro fuerzas de reacción debe ser igual al peso total colocado sobre la mesa.
2. La mesa no tiene peso propio.
3. No puedes resolver directamente la reacción de cada pata usando la suma de fuerzas y la suma de momentos porque la estructura es estáticamente indeterminada.
4. No se nos permite introducir la deflexión para desarrollar una cuarta relación independiente entre las cuatro reacciones.

Hay métodos para estimar la fuerza de reacción en cada pierna. Uno de estos métodos utiliza proporciones para determinar las reacciones de cuatro patas.

$$\begin{eqnarray} P_1 & = & \left(\frac{y_w-y_b}{y_f-y_b}\right)\left(\frac{x_w-x_l}{x_r-x_l}\right) \\ P_2 & = & \left(\frac{y_w-y_b}{y_f-y_b}\right)\left(\frac{x_w-x_r}{x_l-x_r}\right) \\ P_3 & = & \left(\frac{y_w-y_f}{y_b-y_f}\right)\left(\frac{x_w-x_r}{x_l-x_r}\right) \\ P_4 & = & \left(\frac{y_w-y_f}{y_b-y_f}\right)\left(\frac{x_w-x_l}{x_r-x_l}\right) \end{eqnarray}$$ Aquí está mi pregunta. La solución anterior solo es buena para una configuración de patas cuadradas.

¿Se puede modificar este método para que funcione en una configuración de patas trapezoidales, como esta? Mejor aún, ¿se puede modificar este método para que funcione con cualquier configuración de patas?

Editar 1

@ ja72, esto es en respuesta a su respuesta. Por favor, perdóname. Hace 15 años que no trabajo con sumatorias y álgebra lineal. Tengo problemas para resolver las dos ecuaciones de torque para$\psi$y$\varphi$. Mire lo que tengo a continuación y avíseme si estoy en el camino correcto. Primero encontré$F_i$usando tu segunda ecuación.

$$\begin{equation} F_i=-\frac{W+k(\psi(x_i-x_w)+\varphi(y_i-y_w)}{3k} \end{equation}$$ Ahora sustituyo esto en sus dos ecuaciones de torque e intento resolver. $$\begin{equation} -\sum_{i=1}^n\frac{W+k(\psi(x_i-x_w)+\varphi(y_i-y_w))}{3k}(y_i-y_w)=0\tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \sum_{i=1}^n\frac{W+k(\psi(x_i-x_w)+\varphi(y_i-y_w))}{3k}(x_i-x_w)=0\tag{2} \end{equation}$$ Reordenar las ecuaciones 1 y 2 $$\begin{equation} \frac{nW}{3k}-\sum_{i=1}^n\frac{\psi(x_i-x_w)(y_i-y_w)+\varphi(y_i-y_w)^2}{3}=0\tag{3} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{nW}{3k}+\sum_{i=1}^n\frac{\psi(x_i-x_w)^2+\varphi(y_i-y_w)(x_i-x_w)}{3}=0\tag{4} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^n(x_i-x_w)(y_i-y_w)&\sum_{i=1}^n(y_i-y_w)^2\\ \sum_{i=1}^n(x_i-x_w)^2& \sum_{i=1}^n(y_i-y_w)(x_i-x_w) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \psi\\\varphi \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\frac{nW}{k}\\ \frac{nW}{k} \end{bmatrix} \tag{5} \end{equation}$$ Dudo que esto sea correcto y no sé cómo resolverlo. por favor me pueden ayudar a resolver $\psi$y $\varphi$.

Editar 2

Comenzando con el 2x2 dado por ja72. Observe que he eliminado el$k$términos en el lado derecho ya que se cancelan al final.

$$\begin{equation} A\enspace \begin{array}{|c|} \psi \\ \varphi \end{array}= \begin{array}{|c|} W(y_w-\overline{y})\\W(x_w-\overline{x}) \end{array} \tag{1} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} A=\begin{bmatrix} n\overline{x}\overline{y}-\displaystyle{\sum_{i=1}^n(x_iy_i)} & \displaystyle{\sum_{i=1}^n(y_i^2)}-n\overline{y}^2 \\ \displaystyle{\sum_{i=1}^n(x_i^2)}-n\overline{x}^2 & n\overline{x}\overline{y}-\displaystyle{\sum_{i=1}^n(x_iy_i)} \end{bmatrix} \end{equation}$$ Implementar transformación de variables

$$\begin{equation} a = n\overline{x}\overline{y}-\sum_i^n(x_iy_i)\quad b=\sum_i^n(y_i^2)-n\overline{y}^2 \end{equation}$$ $$\begin{equation} c=\sum_i^n(x_i^2)-n\overline{x}^2\quad d=n\overline{x}\overline{y}-\sum_i^n(x_iy_i) \end{equation}$$ ahora A se convierte $$\begin{equation} A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \end{equation}$$ Resolver $\psi$y $\varphi$ $$\begin{equation} \begin{array}{|cc|} \psi\\\varphi \end{array}=A^{-1}\enspace \begin{array}{|cc|} W(y_w-\overline{y}\\ W(x_w-\overline{x} \end{array} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \psi=\frac{w}{ad-bc}(b(x_w-\overline{x})-d(y_w-\overline{y})) \tag{2} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \varphi=\frac{w}{ad-bc}(a(y_w-\overline{y})-c(x_w-\overline{x})) \tag{3} \end{equation}$$ Aquí está la ecuación para $z_w$. Nuevamente, he eliminado el $k$términos ya que todos se cancelan. $$\begin{multline} z_w=\frac{1}{n}(W+ \displaystyle{\sum_{i=1}^n}\psi(x_i-x_w)- \varphi(y_i-y_w)) \end{multline}$$ Cuando sustituimos $\psi$y $\varphi$tenemos esta cosa fea. $$\begin{multline} z_w=\frac{W}{n}(1+\frac{1}{ad-bc} \displaystyle{\sum_{i=1}^n}(d(y_w-\overline{y})-b(x_w-\overline{x}))(x_i-x_w)- \\ (a(x_w-\overline{x})-c(y_w-\overline{y}))(y_i-y_w)) \tag{4} \end{multline}$$ Finalmente tenemos... $$\begin{equation} F_i=Term1-Term2+Term3 \end{equation}$$ Dónde $$\begin{eqnarray} Term1 & = & z_m \\ Term2 & = & \psi(x_i-x_w) \\ Term1 & = & \varphi(y_i-y_w) \\ \end{eqnarray}$$