Problemas analíticos con la función de Green

Una función de Green no es más que el núcleo integral (generalmente distributivo) del inverso de un operador dado. El punto es que el operador

$$A:= \left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r})\right]$$ no admite inversa única . En cambio, $$A_{\pm\eta}:=\left[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}(\mathbf{r}) \pm i\eta\right]$$ admite un único inverso (para cada elección del signo) y viene dado por un operador cuyo núcleo integral es $G_{\pm \eta}$. Resulta que $\lim_{\eta \to 0^+}G_{\pm \eta} f$existen y estos límites seleccionan un par de operadores inversos (entre la clase de operadores inversos) de $A$, cuyo significado físico es relevante (soluciones avanzadas y retardadas).

En la práctica, el cálculo de los límites anteriores se puede realizar en el plano complejo utilizando la teoría del residuo, después de haber escrito$G_{\pm \eta}$en términos de una expansión de Fourier. Dentro de esta imagen, la aparición de varios inversos de$A$se describe en términos de las diversas formas de envolver la singularidad en el plano complejo.

Este tipo de problema se puede tratar convenientemente usando la transformada compleja de Laplace. Para una función$f(t)$con$t\geqslant 0$se define como

$$\begin{equation*} \hat{f}(z)=\int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]f(t),\;Imz>0. \end{equation*}$$ Configuración $z=\omega +i\eta$( $\eta >0$pero arbitrario de lo contrario) tenemos, con $\theta (t)$la función de paso de Heaviside ( $\theta (t)=1$para $t\geqslant 0$y $0$de lo contrario), $$\begin{equation*} \hat{f}(\omega +i\eta )=\int_{-\infty }^{+\infty }dt\exp [i\omega t]\theta (t)\exp [-\eta t]f(t). \end{equation*}$$ De este modo $\hat{f}(\omega +i\eta )$es la transformada de Fourier de $\theta (t)\exp [-\eta t]f(t)$y por lo tanto $$\begin{eqnarray*} \theta (t)\exp [-\eta t]f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i\omega t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ f(t) &=&\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{+\infty }d\omega \exp [-i(\omega +i\eta )t]\hat{f}(\omega +i\eta ) \\ &=&\frac{1}{2\pi }\int_{\Gamma }dz\exp [-izt]\hat{f}(z),\;t\geqslant 0, \end{eqnarray*}$$ dónde $\Gamma$es la línea $(-\infty +i\eta ,+\infty +i\eta )$.

Ahora el problema en cuestión. Configuración$\hslash =1$nos ocupamos de la ecuación de Schr\"{o} Dinger

$$\begin{equation*} \partial _{t}\psi (t)=-iH\psi (t). \end{equation*}$$ Dado que, por integración parcial (nota $Imz>0)$, $$\begin{equation*} \int_{0}^{\infty }dt\exp [izt]\partial _{t}\psi (t)=-\psi (0)-iz\hat{\psi} (z), \end{equation*}$$ obtenemos, después de algunos reordenamientos, $$\begin{eqnarray*} i[z-H]\hat{\psi}(z) &=&\psi (0), \\ \hat{\psi}(z) &=&-i[z-H]^{-1}\psi (0), \\ \psi (t) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-izt][z-H]^{-1}\psi (0)=\exp [-iHt]\psi (0),\;t\geqslant 0 \end{eqnarray*}$$ El objeto $[z-H]^{-1}$es conocido como el disolvente de $H$y juega un papel clave en las investigaciones matemáticas. La función de Green es el núcleo correspondiente en la representación de coordenadas $$\begin{equation*} \hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z)=\langle \mathbf{x}_{1}|[z-H]^{-1}|% \mathbf{x}_{2}\rangle \end{equation*}$$ y $$\begin{eqnarray*} G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2}) &=&\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma }dz\exp [-iz(t_{1}-t_{2})]\hat{G}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},z), \\ \psi (\mathbf{x}_{1},t_{1}) &=&\int d\mathbf{x}_{2}dt_{2}G(\mathbf{x}_{1},% \mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})\psi (\mathbf{x}_{2},t_{2}),\;t_{1}\geqslant t_{2}. \end{eqnarray*}$$ Formalmente $G(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2},t_{1},t_{2})$satisface la ecuación en la pregunta pero ahora tenemos una descripción precisa sobre el $z$- integral.