¿Cómo elegimos cómo discretizar el espacio-tiempo en la gravedad cuántica de bucles?

En LQG, elegimos un complejo de dos (u otro) en el que discretizar GR antes de cuantificar. Estoy un poco inseguro acerca de la naturaleza de esta elección. ¿Es el complejo de dos una propiedad a priori del universo (es decir, en la misma posición que la variedad del espacio-tiempo)? ¿O es simplemente una "lente" con la que vemos y regularizamos nuestra teoría (análoga a la escala en la renormalización de QFT), independientemente de la dinámica general?

Respuestas (1)

En LQG solemos hablar de cómo el espacio adquiere un carácter discreto, pero la verdad es algo más sutil. El espacio en LQG no es una celosía, sino la suma de todas las celosías que respetan nuestras condiciones de contorno (¡ advertencia! Ver Edición 2 a continuación). Así es como implementamos la invariancia del difeomorfismo en la teoría de una manera independiente del fondo.

En muchos aspectos, una determinada "red" se puede considerar como un diagrama de Feynman. Es una imagen que captura una configuración a través de la cual el sistema puede evolucionar, pero si realmente desea calcular algo, debe sumar todos los diagramas.

Si está interesado, en el LQG moderno generalmente trabajamos sobre una base en la que estas redes se describen mediante algo llamado redes de espín, que son gráficos orientados donde los enlaces solo se encuentran en sus puntos finales, que llamamos nodos.

Si se pregunta de qué manera la discreción termina manifestándose en la teoría, al observar el flujo a través de una superficie, se puede definir un operador de buen comportamiento que actúa en un estado de red de espín. | S ⟩ para dar su área. Este operador se llama simplemente operador de área y tiene el siguiente espectro de valores propios

A ^ S | S ⟩ = 8 π ℓ pag 2 β ∑ pag ∈ ( Γ ∩ S ) j pag ( j pag + 1 ) | S ⟩

Dónde ℓ pag es la longitud del tablón, β es un parámetro libre en LQG, Γ es el conjunto de todas nuestras redes de espín y j pag son valores de espín que se suman. Todo esto es muy similar al componente z del operador de momento angular de la mecánica cuántica regular y, de hecho, también hay un operador de volumen que es análogo al operador de momento angular de longitud cuadrada de QM, aunque no entraré en detalles. porque no lo conozco bien.

Editar:

Si desea una mejor explicación de la acción de las redes de espín, este es el lugar para ir: ¿ Cuál es el papel que juegan las redes de espín en la gravedad cuántica de bucles?

Editar 2

Al leer esto nuevamente, veo que fui un poco impreciso en mi idioma y esto probablemente causó la confusión. Afirmé que el espacio es la suma de todos los retículos pero, en realidad, es más preciso para mí decir que el espacio es un retículo, pero en qué retículo estás se determina mecánicamente cuánticamente. En la teoría canónica, esto está determinado por los valores propios de los operadores de área y volumen que encuentras cuando mides el espacio.

En la teoría covariante esto se implementa escribiendo la amplitud de transición como la suma de todas las geometrías que concuerdan con nuestro estado inicial y final.

Estoy familiarizado con las redes de espín. ¿Crees que podrías ampliar más la suma sobre redes? He estado leyendo [1], y no menciona tal suma; en cambio, parece indicar que arreglamos la triangulación.
[1] Carlo Rovelli y Francesca Vidotto. Gravedad cuántica de bucle covariante: una introducción elemental a la gravedad cuántica y la teoría de la espuma giratoria. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge, 2015.
Adicionalmente indica que una vez que pasamos a una teoría de Turaev-Viro, las amplitudes son independientes de la triangulación. No estoy seguro de lo que esto podría sugerir, ¿quizás que el espacio-tiempo es algo así como una "clase de equivalencia" de triangulaciones?
Hola Josh, el libro de Rovelli y Vidotto es un libro sobre la teoría covariante, no el canónico en el que supuse que estabas trabajando. En la teoría covariante, la suma de las geometrías ocurre en la función de partición. Z y las amplitudes de transición correspondientes W . Consulte la página 106 de su libro para ver esta suma en acción.
Lo siento, tal vez debería haber especificado. Supongo que te refieres a la expresión para W Δ . Todavía me parece que, aunque podemos estar sumando todas las configuraciones posibles (es decir, asignaciones de longitudes a bordes, etc.) de una triangulación, la triangulación Δ sigue siendo una cantidad fija...
No soy un experto en la teoría de la covariante, así que espero que alguien que lo sea pueda intervenir aquí, pero tengo entendido que una triangulación arbitrariamente fina puede aproximarse a una variedad arbitrariamente bien y dado que sumamos todas las configuraciones de la triangulación, es decir. sumamos sobre cada número y configuración de enlaces y nodos que realmente estamos sumando sobre cada entramado posible.
Josh, me he dado cuenta de una posible fuente de confusión, mira la edición que he agregado a mi respuesta.
Supongo que tendré que leer sobre la formulación canónica para apreciar completamente los detalles aquí. Gracias por el tiempo que has dedicado a tratar de explicarme esto.
Creo que es una buena idea. Se puede obtener mucha información de la teoría canónica, aunque en algunos sentidos la teoría covariante es más intuitiva físicamente, pero menos poderosa que la teoría canónica.
¿Cómo elegimos cómo discretizar el espacio-tiempo en la gravedad cuántica de bucles?
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