¿Cómo determinar el par requerido del robot móvil para acelerar cuesta arriba?

Para permitir que su robot continúe subiendo la colina, debemos aplicar un par externo (que ha etiquetado como$M$en su caso) para subir la rueda por la rampa. Para su caso, puede ser más fácil verlo como una suma de pares dados como

$$\begin{equation} \sum \tau = I \beta \end{equation}$$

Dónde$I$es el momento de inercia de su objeto, y$\beta$es la aceleración angular (típicamente se escribe como$\alpha$pero dado que usas eso como tu ángulo, en su lugar usaré$\beta$).

Ahora, cualquier torsión sobre un objeto son solo fuerzas sobre un objeto que se ejercen lejos de su punto de pivote (o en su caso, el centro de masa que sería el centro de la rueda). Primero debemos definir una dirección positiva (cualquiera que sea la forma en que la definamos, no cambiará el resultado). Definiré el sentido de las agujas del reloj como positivo.

Supongamos que no tienes el par externo del motor,$M$. La única fuerza en su situación que actúa alejándose del pivote es la fuerza de fricción. En general, el par se da como$\tau = rF \sin \theta$, dónde$\theta=90^\circ$ya que su vector radial es perpendicular a su vector de fuerza de fricción. Además, es necesario conocer el signo del par. Dado que su fuerza de fricción causaría una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj (opuesto a lo que definimos como positivo), entonces será un par negativo. Entonces nuestra suma de torques se convierte en

$$\begin{equation} -r F_{tr} = I \beta \end{equation}$$

Dando así,

$$\begin{equation} \beta = -\frac{r F_{tr}}{I} \end{equation}$$

El negativo en la ecuación es muy informativo. Nos dice que la rueda tendría una aceleración angular negativa si no hubiera un par externo. En términos simples, esto simplemente significa que la rueda se desacelerará, lo que tiene sentido de que si no tenemos un mecanismo de conducción, algo que sube una colina se desacelerará. Siempre puedes ver esto en términos de tu aceleración lineal también,$\displaystyle \beta = \frac{a_x}{r}$.

Si ahora incluimos el par externo en nuestra suma de pares,

$$\begin{equation} M-r F_{tr} = I \beta \end{equation}$$

Entonces puede ver que su torque requerido tendría que ser

$$\begin{equation} M = r F_{tr} + I \beta \end{equation}$$

Podríamos poner esto en una forma más útil. Asumiré que su rueda podría modelarse como un cilindro sólido que tiene un momento de inercia$I = \frac{1}{2} m r^2$. Y usando la forma lineal de nuestra aceleración mencionada anteriormente, entonces su par requerido sería

$$\begin{equation} M = r F_{tr} + \frac{m r a_x}{2} \end{equation}$$

Además, con respecto a su última declaración sobre la fricción que apunta hacia arriba de la colina, ya sea que esté rodando hacia arriba o hacia abajo. Recuerde que para un objeto rodante que no se desliza , el punto en el que hace contacto con la superficie DEBE tener velocidad cero (lo que significa que no puede tener ninguna aceleración neta). Entonces, en su caso, ya sea que la rueda suba o baje la colina, siempre tendrá lo que llama el componente dinámico de la gravedad apuntando hacia abajo en la rampa. Para evitar que la parte inferior de la rueda haga contacto con la superficie y se deslice (aceleración en la dirección de ese componente de fuerza), la fuerza de fricción DEBE existir para contrarrestar esa fuerza y ​​mantener estacionaria la parte inferior de la rueda.

EDITAR para aclarar: la suma de fuerzas también es factible. Sin embargo, en su método olvidó que el motor de su robot está aplicando un par externo, lo que significa que también está aplicando una fuerza externa en la rueda. Así que tu suma de fuerzas en tu dirección x debería reflejar eso. Entonces tu suma de fuerzas sería más como

$$\begin{equation} F_{ext} - F_d + F_{tr} = m a_x \end{equation}$$

De lo contrario, su robot simplemente rodaría cuesta abajo ya que no había nada que lo obligara a subir la colina.