¿Cómo amplifican las fuerzas las palancas?

Estoy de acuerdo con Benjamin Franz en que el modelo de bola y resorte de un sólido es útil y que cuando un sólido ejerce una fuerza de contacto, los enlaces entre los átomos se distorsionan en esa región. Si toma una viga, sujeta sus extremos y luego aplica una fuerza fuera del centro, las uniones en el lado corto se distorsionan más que las uniones en el lado largo. Por lo tanto, se ejerce más fuerza sobre la abrazadera que está más cerca de la fuerza aplicada. El siguiente diagrama ilustra esto:

Aunque la respuesta de @Noah proporciona una idea, tendría que estar en desacuerdo con la afirmación de que "los bonos en el lado corto están más distorsionados". La distorsión "neta" es probablemente la misma en cada lado.

Proporcionaré una figura similar a la de @Noah. Hay dos rectángulos negros que representarían los dos pesos, pero por ahora supongamos que son rígidos. También están a la misma altura con las mismas dimensiones.

A medida que presiona los rectángulos contra la viga, la rodilla (punto de apoyo) evitará la traslación, por lo que se producirá una deformación en las puntas. Suponiendo que mantenemos la misma altura entre los rectángulos, la deformación vertical en cada una de las puntas de la viga será la misma.

Sin embargo, la fuerza requerida en el rectángulo de la izquierda para tal deformación será menor que la fuerza requerida por el rectángulo de la derecha. Para dar una idea de por qué sucede esto, dibujé el escenario en el que tendría que doblar la parte más larga de la viga (L1) y la parte más corta (L2):

Creo que por experiencia ya sabes que en el segundo caso (viga más corta) es mucho más difícil doblar la viga y hay que aplicar una fuerza mayor (*). Entonces, si combina estos dos casos y regresa al ejemplo original, probablemente comprenda que, de hecho, se necesita aplicar una fuerza mayor en L2 en comparación con L1.

Si pensamos en términos de pesos en lugar de dos rectángulos negros, ahora puede ver por qué una pequeña fuerza en la punta de L1 requeriría una fuerza mayor en L2 para equilibrar el sistema, deformando la misma cantidad en cada extremo. En una situación típica de la vida real, la palanca no estaría tan deformada. Sin embargo, la acción de flexión y la geometría inherente de la palanca aún explican este fenómeno.

• (*) Bono: Si se pregunta por qué una viga más pequeña es más difícil de doblar en comparación con una más larga, puede estudiar la viga utilizando un modelo de resorte de bola a nivel atómico. Pensando en la viga en términos de resortes, el lado más largo tiene un resorte axial equivalente que es mucho más largo que los resortes axiales combinados del lado más corto. Si recuerdas de Física, un resorte más corto es mucho más difícil de tirar que uno más largo. Puede intentarlo usted mismo, pero la explicación de esto es otro tema. A medida que "empuja" el peso en el lado más largo de la viga (o rectángulo negro), inevitablemente dobla la viga de tal manera que los "muelles" cerca de la parte superior se extienden y los resortes cerca de la parte inferior se comprimen (consulte el momento de flexión para obtener más información). sobre esto). Esto significa que hay tensión interna, debido a las fuerzas axiales, similar a como empujarías un resorte. A continuación tienes una imagen aproximada que explica la existencia de una fuerza axial (F1). El peso (F) se descompone en una fuerza perpendicular a la viga (F2) y una fuerza axial (F1). Tenga en cuenta que esto es una simplificación excesiva, ya que la distribución de la fuerza axial interna varía a lo largo de la sección transversal.

  

• Extra : una discusión reciente con @DS me llevó a recordar que esta es una situación similar a la amplificación de fuerza en fluidos: lo que transfiere la fuerza del pistón más pequeño y la amplifica al pistón más grande es la presión y no la fuerza real. Aquí es similar: lo que amplifica la fuerza es el esfuerzo de flexión dentro de la viga, promovido por el empuje en el lado más largo de la palanca y transmitido al lado más corto.

  En cuanto a por qué se transmite presión/estrés y no fuerza, probablemente esté relacionado con el hecho de que lo que se transmite es energía y no fuerza. Suponiendo que no haya pérdidas de calor, hay conservación de energía (ya sea en la flexión de la palanca o en el ejemplo del pistón): aunque la fuerza se amplifique, la distancia (al peso) disminuirá, por lo que su producto ("energía/trabajo" ) es el mismo en cualquier lado del sistema. Si alguien quiere agregar algún comentario sobre esta parte se lo agradecería mucho.

Hay dos formas bastante sencillas de entender esto:

• Como un problema de "estática" que involucra fuerzas y pares en la palanca .
• En términos de conservación de energía entre el trabajo realizado por la persona que opera la palanca y la carga levantada.

Configuración

Para simplificar, consideraremos la situación en la que la palanca es esencialmente horizontal (demostrar que los resultados se mantienen en otros ángulos se deja como ejercicio), y trataremos la palanca como una barra recta de longitud$l = l_1 + l_2$. Tres fuerzas actúan de la barra, la fuerza aplicada$F_a$actúa hacia abajo a una distancia 0, la fuerza del fulcro$F_f$actúa hacia arriba a distancia$l_1$, y la carga$F_l$actúa hacia abajo a la distancia l.

Tenga en cuenta que hasta ahora no he dicho nada sobre la proporción$l_1/l_2$.

Estática

requerimos eso$\sum F_i = 0$y$\sum \tau_i = 0$(la suma de las fuerzas y la suma de los pares que actúan sobre la barra son cero). Mediré los pares alrededor del fulcro.

Inmediatamente podemos ver que el sistema está subrestringido y tenemos un parámetro libre; que el peso de la carga, por lo que expresaremos$F_a$y$F_f$en términos de$F_l$.

De la ecuación del torque obtenemos$F_a = \frac{l_2}{l_1} F_l$, y reemplazando eso en la ecuación de fuerzas obtenemos$F_f = (1 + \frac{l_2}{l_1}) F_l$.

Preocupaciones energéticas

El mejor de los casos es que la máquina no desperdicia energía; asumimos este caso.

Mientras la barra se mueve a través de un pequeño ángulo$\alpha$cerca de la horizontal, la fuerza aplicada se mueve a lo largo de una distancia$-\alpha \cdot l_1$, y el extremo cargado a través de una distancia$\alpha \cdot l_2$, calculando el trabajo realizado en cada extremo obtenemos

Por suposición, estos deben sumar cero, por lo que

como antes.

Conclusiones

Si la carga está en el extremo corto, entonces$l_2 < l_1$y$\frac{l_2}{l_1} < 1$y necesita menos fuerza para levantar la carga, pero la carga se mueve una distancia más corta.

Si la carga está en el extremo largo, entonces$l_2 > l_1$y$\frac{l_2}{l_1} > 1$y necesita más fuerza para levantar la carga, pero la carga se mueve una distancia más larga.

El problema se me presentó hace mucho tiempo como "¿Cómo sabe el peso que cuelga de un extremo de una barra horizontal a qué distancia están el pivote y el otro peso?" Descubrí que esto solo podía responderse permitiendo que la varilla tuviera cierto grosor, en el que pudiera tener una estructura interna.

Usando una estructura que consiste en un enrejado de puntales y tirantes articulados con pasadores, la ley$F_1x_1=F_2x_2$emerge simplemente aplicando la condición de equilibrio de fuerzas en cada articulación del pasador.

Adjunto una versión simplificada (posiblemente demasiado simplificada) del argumento.

Esto puede criticarse porque he dado a los dos lados de la barra estructuras de proporciones diferentes. El argumento funciona de manera muy similar y produce el mismo resultado, si hay la misma estructura de celosía en ambos lados del pivote, solo más unidades de celosía en el lado largo de la barra.

Todo está relacionado con el punto de pivote de la palanca y con la energía gastada, no con la fuerza aplicada. Si el punto de pivote es un cuarto de la longitud de la palanca, desde la parte inferior de la palanca, y aplica una fuerza F, a la parte superior de la palanca, para mover la parte superior una distancia D, el resultado será que la parte inferior de la palanca se moverá a través de un tercio de la distancia de la parte superior. (Es decir, 3/4 de longitud dividido por 1/4 de longitud sobre el punto de pivote). La energía gastada en la parte superior de la palanca es FxD. Como la energía que entra es igual a la energía que sale, y la parte inferior de la palanca se mueve solo 1/3 de D, entonces la fuerza que se ejerce en la parte inferior de la palanca es 3D. (Es decir, 3 veces la fuerza aplicada en la parte superior de la palanca) pero se ha ejercido sobre una distancia más corta. Espero que esto sea lo que estás buscando, y espero haberlo dejado claro. Hace 60 años que me enseñaron esto.

Considero que la respuesta de dmckee es defectuosa porque no menciona la tierra.

En el nivel más grueso, la tierra acelera hacia abajo mientras que el objeto grande acelera hacia arriba. A nivel de la mecánica newtoniana, toda acción tiene una reacción igual y opuesta.

Más detalladamente, el centro de masa de la tierra, el fulcro, la palanca, la persona que empuja y el objeto grande, tomados juntos como un solo sistema compuesto, permanece inmóvil (o, más bien, a velocidad constante), pero el Las posiciones y velocidades de los cinco componentes internos entre sí cambian por las acciones de las fuerzas de contacto (que podemos tomar en última instancia como fuerzas gravitatorias, electromagnéticas y nucleares sin contacto, y una comprensión de la constitución de la materia requiere en última instancia QM) que actúan entre ellos. En este nivel de modelado, la aceleración de la tierra (en el modelo) será ligeramente diferente (y la misma que la aceleración del fulcro), porque parte de la persona que empuja también está acelerando hacia abajo,

En niveles crecientes de detalle, cada uno de los cinco componentes también es compuesto. Puedo doblar mi brazo para ejercer una fuerza hacia abajo porque puedo ajustar la geometría interna de mi brazo en relación con otra parte usando energía química (que nuevamente podemos tomar como energía electromagnética y nuclear, y QM).

Aunque etiquetó este QM, se puede entender moderadamente bien en términos de mecánica clásica y EM. La constitución de la materia fue una preocupación para los filósofos naturales de finales del s. XIX, pero todo estaba tan bajo control que apenas se dieron cuenta de que estaban ocultando problemas debajo de la alfombra hasta Planck.