¿Cómo desaparecen los factores de renormalización de la receta de cálculo de la matriz S en Peskin & Schroeder (p. 229 eq. (7.45) & p. 324)?

A continuación limito mis consideraciones a los diagramas de 4 puntos.

Después de la introducción del operador de campo renormalizado (en la teoría de la perturbación renormalizada)

$$\phi_r= (\sqrt{Z})^{-1} \phi\tag{10.15}$$ en la ec. (10.15) P&S establece que "al calcular los elementos de la matriz S, ya no necesitamos los factores de$Z$en la ecuación (7.45);" Eq. (7.45) parece (lamento no saber bien dibujar burbujas) $$\langle p_1 p_2|S|k_1k_2\rangle = \tag{7.45}$$ $$(\sqrt{Z})^4(\mbox{sum of all amputated conn. diagrams with $p_1$, $p_2$ incoming, $k_1$, $k_2$ outgoing}).$$

Eso significa que el factor$(\sqrt{Z})^4$ya no aparecería en la ec. (7.45). En realidad no entiendo esta conclusión.

Lo que sí entiendo es que cuando en la fórmula LSZ (7.42) se usan los operadores de campo renormalizados, el$Z$-desaparecen los factores:

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi_r(x_1)\phi_r(x_2)\phi_r(y_1)\phi_r(y_2)\}|\Omega\rangle$$ $$\sim \prod_1^2\frac{i}{p_i^2-m^2} \prod_1^2\frac{i}{k_i^2-m^2} \langle p_1 p_2|S|k_1k_2\rangle$$

donde por simplicidad descuidé el$+i\epsilon$términos y límites$p^0_i\rightarrow +E_{p_i}$y$k^0_i\rightarrow +E_{k_i}$en el lado derecho de la ecuación. En los siguientes P&S establece que

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(y_1)\phi(y_2)\}|\Omega\rangle$$

corresponde a la Figura 7.4, es decir, un diagrama de 4 puntos muy general cuyas 4 patas contienen burbujas de energía propia (representadas por círculos oscuros) y la suma de todos los diagramas de 4 puntos amputados conectados en el centro. Y cada burbuja de energía propia correspondería a un factor como

$$\frac{i Z}{p^2-m^2}$$

Ingenuamente pensé primero que de esta manera el$Z$-los factores volverían a aparecer, pero luego pensé que en la teoría de la perturbación renormalizada, las burbujas de energía propia también contienen los términos contrarios para que se correspondan mejor con

$$\frac{i}{p^2-m^2}\tag{10.19}$$

pero finalmente me di cuenta de que en la teoría de la perturbación renormalizada la expresión

$$\prod_1^2 \int d^4x_i e^{i p_i x_i} \prod_1^2 \int d^4y_i e^{-i k_i y_i}\langle\Omega|T\{\phi_r(x_1)\phi_r(x_2)\phi_r(y_1)\phi_r(y_2)\}|\Omega\rangle$$

debe ser considerado en su lugar. Mirando esta expresión, ya no estoy seguro de si todavía correspondería a la figura (7.4), es decir

$$\frac{iZ}{p_1^2-m^2}\frac{iZ}{p_2^2-m^2}\frac{iZ}{k_1^2-m^2}\frac{iZ}{k_2^2-m^2}\cdot (\mbox{sum of all amputated conn. 4-point diagrams})$$

que solo parece ser válido para operadores de campo no normalizados. Para los operadores de campo renormalizados, la$Z$'s en la expresión precedente ciertamente desaparece, pero ¿la

$$(\mbox{sum of all amputated conn. 4-point diagram})$$ ¿lo mismo? No está claro para mí. Este es, sin embargo, el requisito previo para la validez de la ec. (7.45) sin$Z$'s, la ecuación que cité al comienzo de mi pregunta.

Agradecería que alguien con más conocimiento me lo explicara.