Problema con la demostración de que para cada vector temporal existe un sistema de coordenadas inercial en el que sus coordenadas espaciales son cero

Question

Problema con la demostración de que para cada vector temporal existe un sistema de coordenadas inercial en el que sus coordenadas espaciales son cero

Ansonī Bodo

Estoy leyendo notas de una conferencia sobre relatividad especial y tengo un problema con la prueba de la siguiente proposición.

proposición _ Si $X$ es temporal, entonces existe un sistema de coordenadas inercial en el que $X^1 = X^2 = X^3 = 0$ .

La prueba dice que como $X$ es temporal, tiene componentes de la forma $(a, p\,\mathbf{e})$ , dónde $\mathbf{e}$ es un vector espacial unitario y $\lvert a \rvert > \lvert p \rvert$ . Entonces uno considera los siguientes cuatro cuatro vectores:

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} (a, pag mi) & \frac{1}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} (pag, a mi) & (0, q) & (0, r), \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(a, p\,\mathbf{e}) & & \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(p, a\,\mathbf{e}) & & (0, \mathbf{q}) & & (0, \mathbf{r})\,, \end{align*}$ dónde

q

$\mathbf{q}$ y

r

$\mathbf{r}$ son elegidos para que

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ forman una tríada ortonormal en el espacio euclidiano. Luego, la prueba concluye que estos cuatro vectores definen una transformación de Lorentz explícita y se detiene allí.

Para mí, esta transformación de Lorentz explícita está representada por la siguiente matriz.

[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} a & \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{1} & \frac{a}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{1} & q^{1} & r^{1} \\ \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{2} & \frac{a}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{2} & q^{2} & r^{2} \\ \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{3} & \frac{a}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} {mi}^{3} & q^{3} & r^{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & q^1 & r^1 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & q^2 & r^2 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & q^3 & r^3 \\ \end{bmatrix}$ Sin embargo, multiplicando el vector columna

(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3})

$(X^0, X^1, X^2, X^3)$ por la matriz anterior no parece producir un vector columna cuyos componentes espaciales sean cero.
¿Qué me perdí?

Valter Moretti

Una mejor estrategia es primero rotar las coordenadas espaciales para que solo el componente espacial z no desaparezca, finalmente usar un impulso a lo largo de z.

Ansonī Bodo

Estoy de acuerdo contigo y descubrí que después de la primera rotación uno necesita un impulso de velocidad

v = - \frac{p c}{a}

$v = -\frac{pc}{a}$ en la dirección z para hacer el trabajo. Sin embargo, todavía tengo curiosidad acerca de la prueba más algebraica descrita en mi publicación.

Valter Moretti

La matriz que escribiste transforma el vector columna

(1, 0, 0, 0)^{t}

$(1,0,0,0)^t$ a

X

$X$ . La matriz que estás buscando es la inversa de la que escribiste. se transforma

X

$X$ al vector unitario temporal de otro marco de referencia.

Respuestas (3)

Problema con la demostración de que para cada vector temporal existe un sistema de coordenadas inercial en el que sus coordenadas espaciales son cero

Una mejor estrategia es primero rotar las coordenadas espaciales para que solo el componente espacial z no desaparezca, finalmente usar un impulso a lo largo de z.
Estoy de acuerdo contigo y descubrí que después de la primera rotación uno necesita un impulso de velocidad $v = -\frac{pc}{a}$ en la dirección z para hacer el trabajo. Sin embargo, todavía tengo curiosidad acerca de la prueba más algebraica descrita en mi publicación.
La matriz que escribiste transforma el vector columna $(1,0,0,0)^t$ a $X$ . La matriz que estás buscando es la inversa de la que escribiste. se transforma $X$ al vector unitario temporal de otro marco de referencia.

A. Borg · Answer 1

En realidad, su matriz se puede simplificar en gran medida como

METRO = [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} a & \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{pag}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} & \frac{a}{\sqrt{a^{2} - {pag}^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ desde

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ forma una tríada ortonormal, por lo tanto

e_{1} = q_{2} = r_{3} = 1

$e_1 = q_2 = r_3 = 1$ y los otros coeficientes son cero.
Ahora, como señaló Valter Moretti en su comentario, la matriz que está buscando es la inversa de esta matriz. Un cálculo fácil da el inverso.

{METRO}^{- 1} = \frac{1}{(a^{2} - {pag}^{2})^{\frac{3}{2}}} [\begin{matrix} a (a^{2} - {pag}^{2}) & - pag (a^{2} - {pag}^{2}) & 0 & 0 \\ - pag (a^{2} - {pag}^{2}) & a (a^{2} - {pag}^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (a^{2} - {pag}^{2})^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (a^{2} - {pag}^{2})^{\frac{3}{2}} \end{matrix}]

$M^{-1} = \frac{1}{(a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{bmatrix} a(a^2 - p^2) & -p(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ -p(a^2 - p^2) & a(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$ Finalmente, se comprueba fácilmente el resultado de la siguiente manera.

{METRO}^{- 1} \times [\begin{matrix} a \\ pag \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \sqrt{a^{2} - {pag}^{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$M^{-1} \times \begin{bmatrix} a \\ p \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{a^2 - p^2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Tenga en cuenta que tomando

q

$\mathbf{q}$ y

r

$\mathbf{r}$ tal que

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ forma una tríada ortonormal es equivalente a hacer una rotación espacial tal que sólo

X^{1}

$X^1$ no se desvanece. Por lo tanto, una prueba más geométrica, menos algebraica, comenzará con una rotación espacial y luego procederá con un impulso a lo largo de la

x

$x$ -eje.

Javier · Answer 2

La matriz que escribiste tomará la base estándar $\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$ en la base construida a partir de $\mathbf{X}$ . Por lo tanto, para tomar $\mathbf{X}$ en algo proporcional a $(1,0,0,0)$ , necesitas usar la matriz inversa.

Frobenius · Answer 3

La transformación 3+1-Lorentz es

\begin{aligned} (01a) & X^{'} & = X + \frac{γ_{tu}^{2}}{C^{2} (γ_{tu} + 1)} (tu \cdot X) tu - \frac{γ_{tu} tu}{C} C t \\ (01b) & C t^{'} & = γ_{tu} (C t - \frac{tu \cdot X}{C}) \\ (01c) & γ_{tu} & = {(1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,t \tag{01a}\label{01a}\\ c\,t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,t\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c}\right) \tag{01b}\label{01b}\\ \gamma_{\mathrm u} & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{01c}\label{01c} \end{align}$ y en forma diferencial

\begin{aligned} (02a) & d X^{'} & = d X + \frac{γ_{tu}^{2}}{C^{2} (γ_{tu} + 1)} (tu \cdot d X) tu - \frac{γ_{tu} tu}{C} C d t \\ (02b) & C d t^{'} & = γ_{tu} (C d t - \frac{tu \cdot d X}{C}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)} \left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,\mathrm dt \tag{02a}\label{02a}\\ c\, \mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,\mathrm dt\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c}\right) \tag{02b}\label{02b} \end{align}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Para vectores similares al tiempo

¿Podrías registrarte? $\eqref{02a}$ cual seria la cantidad $\mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}$ si en esta misma ecuación reemplazas

\begin{matrix} (03) & tu ⟶ \frac{d X}{d t} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ bajo el supuesto

\begin{matrix} (04) & ‖ \frac{d X}{d t} ‖ < C \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert <c \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Para vectores similares al espacio

¿Podrías registrarte? $\eqref{02b}$ cual seria la cantidad $\mathrm d t^{\boldsymbol{\prime}}$ si en esta misma ecuación reemplazas

\begin{matrix} (05) & tu ⟶ \frac{C^{2}}{{‖ \frac{d X}{d t} ‖}^{2}} \frac{d X}{d t} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{c^2}{\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert^2}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{05}\label{05} \end{equation}$ bajo el supuesto

\begin{matrix} (06) & ‖ \frac{d X}{d t} ‖ > C \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert >c \tag{06}\label{06} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

APÉNDICE

De $\eqref{02a}$ y $\eqref{03}$ si
$\begin{matrix} (07) & X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ X_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X \\ X_{4} \end{matrix}] con {‖ X ‖}^{2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} > 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{>}0 \tag{07}\label{07} \end{equation}$ es un 4-vector similar al tiempo en un marco inercial $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , entonces en cualquier marco inercial $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ moviéndose con velocidad $\begin{matrix} (08) & tu = \frac{X}{X_{4}} C = (\frac{X_{1}}{X_{4}}, \frac{X_{2}}{X_{4}}, \frac{X_{3}}{X_{4}}) C \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{08}\label{08} \end{equation}$ su componente espacial es cero $\begin{matrix} (09) & X^{'} = [\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \\ X_{3}^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] con X_{4}^{' 2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}'\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \boldsymbol{0}\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } x'^{2}_4\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3 \tag{09}\label{09} \end{equation}$
De $\eqref{02b}$ y $\eqref{05}$ si
$\begin{matrix} (10) & X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ X_{4} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X \\ X_{4} \end{matrix}] con {‖ X ‖}^{2} = X_{4}^{2} - X_{1}^{2} - X_{2}^{2} - X_{3}^{2} < 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{<}0 \tag{10}\label{10} \end{equation}$ es un 4-vector similar al espacio en un marco inercial $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , entonces en cualquier marco inercial $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ moviéndose con velocidad $\begin{matrix} (11) & tu = {‖ \frac{X}{X_{4}} ‖}^{- 2} \frac{X}{X_{4}} C = {‖ \frac{X}{X_{4}} ‖}^{- 2} (\frac{X_{1}}{X_{4}}, \frac{X_{2}}{X_{4}}, \frac{X_{3}}{X_{4}}) C \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{11}\label{11} \end{equation}$ su componente de tiempo es cero $\begin{matrix} (12) & X^{'} = [\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \\ X_{3}^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ X_{4}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X^{'} \\ 0 \end{matrix}] con ‖ X^{'} ‖^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2} - X_{4}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ 0\vphantom{x'_4} \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } \Vert\mathbf{x}'\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_1\boldsymbol{+}x^2_2\boldsymbol{+}x^2_3\boldsymbol{-}x^2_4 \tag{12}\label{12} \end{equation}$

Problema con la demostración de que para cada vector temporal existe un sistema de coordenadas inercial en el que sus coordenadas espaciales son cero

Ansonī Bodo

Valter Moretti

Ansonī Bodo

Valter Moretti

Respuestas (3)

A. Borg

Ansonī Bodo

Javier

Frobenius

¿Cómo derivo la contracción de Lorentz del intervalo invariante?

No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de longitud con la transformación de Lorentz

En la paradoja de los gemelos, ¿se pueden usar señales de luz entre gemelos para averiguar cuáles eran sus tiempos adecuados cuando se enviaron las señales de luz?

¿Cuándo son los eventos independientes del marco y por qué?

¿Qué tiene de incorrecto este razonamiento con respecto a la relatividad especial?

¿Qué es un evento en la Relatividad Especial?

Problema de transformación de velocidad de Lorentz bidimensional

Demostrar y=y′,z=z′y=y′,z=z′y=y',z=z' en la transformación de Lorentz

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

¿Qué tan rápido tienes que viajar para viajar un año luz en un año debido a los efectos relativistas?