¿Cómo defino el ordenamiento temporal de las funciones de Wightman?

@ArnoldNeumaier y @dushya han señalado soluciones correctas, pero quiero elaborar un poco.

El enfoque fácil es el que sugirió dushya. (También puede hacer lo que sugiere Arnold Neumaier: primero defina el producto ordenado en el tiempo de las distribuciones con valores de operador y luego tome los valores esperados).

Comience recordando cómo se definen las funciones de Wightman. La función de correlación de$n$campos difuminados es un funcional multilineal$(f_1,...,f_n) \mapsto \langle vac | \hat{\phi}(f_1) ... \hat{\phi}(f_n)|vac\rangle$. Puede usar el teorema nuclear de Schwarz para demostrar que este VEV tiene un núcleo$W$función tal que

$\langle vac |\hat{\phi}(f_1) ... \hat{\phi}(f_n)|vac\rangle = \int f(x_1)...f(x_n) W(x_1,...,x_n) dx_1...dx_n$

Este$W$es una función de Wightman. moralmente,$W$es$\langle vac | \hat{\phi}(x_1)...\hat{\phi}(x_n)|vac\rangle$.

Ahora, si desea definir una función de correlación ordenada en el tiempo, todo lo que tiene que hacer es permutar los argumentos en la función de Wightman.

Hay un enfoque algo más conceptual disponible, a través de la continuación analítica de la firma Minkowski a Euclidean y luego de regreso.

Puede probar que las funciones de Wightman$W(x_1,...x_n)$son valores límite de una función analítica definida en (un dominio en) el producto de$n$-copias de la complejización del espacio de Minkowski. Si restringe esta función analítica al subespacio euclidiano, la función que obtiene, conocida como función de Schwinger, es invariante a la permutación. (Tiene que serlo, porque es el resultado de una integral funcional euclidiana construida solo con variables de conmutación).

Entonces, ¿adónde fue la ordenación de los operadores? Está en la continuación analítica. Las funciones de Schwinger son analíticas, pero no completas. La continuación analítica de una función de Schwinger tiene una rama para cada uno de los posibles ordenamientos de los argumentos. Por lo tanto, puede obtener las funciones de correlación ordenadas en el tiempo al continuar con las funciones de Wightman desde el espacio de Minkowski hasta el espacio euclidiano y luego retroceder a lo largo de una rama diferente.

La imagen básica anterior, las funciones de Wightman y su análisis, se explica maravillosamente en el libro PCT, Spin, Statistics, and All That de Streater & Wightman . También está en la segunda de las conferencias IAS de Kazhdan . (Aunque el trabajo pesado necesario para demostrar que las funciones de Wightman ordenadas en el tiempo están bien definidas parece estar en los productos ordenados en el tiempo y las funciones de Schwinger de Epstein & Eckmann ). También se usa regularmente en textos de física de partículas, cuando se calculan propagadores en el espacio de momento. . (Eche un vistazo a las integrales de contorno en la discusión de Peskin & Schroeder sobre el propagador de Klein-Gordon).

El operador de ordenación temporal está bien definido rigurosamente a través del enfoque de división de distribución de Epstein-Glaser. Puede leer sobre esto en el libro de Scharf sobre QED, o http://arxiv.org/abs/arXiv:0906.1952 . Ver también el resumen en http://de.wikipedia.org/wiki/FQFT