¿Por qué x=xx=xx=x? ¿Por qué x=yx=yx=y y y=zy=zy=z implican x=zx=zx=z? (Suponga que xxx, yyy y zzz son reales).

Recientemente he estado estudiando la construcción axiomática del conjunto de los números reales a través de los axiomas de Peano para los números naturales. Me parece que lo único que se necesita para proceder con este cuerpo de conocimiento es algo de teoría básica de conjuntos (axiomas ZFC) más las reglas de la lógica matemática. Sin embargo, noté que de vez en cuando uno necesita los hechos mencionados en el título. Ahora, estos se explican por sí mismos y son evidentes por sí mismos, pero como estoy tan profundamente enraizado en las raíces de las matemáticas modernas, pensé que también debería preguntar sobre ellos. Después de todo, Euclides enuncia un axioma similar en sus Elementos: «si cada uno de dos segmentos de recta es igual a un tercero, entonces son iguales».

Entonces, con respecto a los números reales, ¿de dónde provienen estas reglas?

  • ¿Son axiomas de algún tipo y, en caso afirmativo, de qué teoría?
  • ¿Son simplemente algunas fórmulas de declaración de lógica booleana? Si es así, ¿cómo puede uno estar convencido de su validez?

Muchas gracias.

Los axiomas 2-4 aquí asumen explícitamente esto.
Las propiedades básicas de = (y otros hechos básicos) se asumen al nivel de la propia lógica de primer orden . Por supuesto, podemos considerar sistemas lógicos alternativos, pero ahí es donde esos hechos básicos están "incorporados".
Dado que está construyendo el sistema de números reales a partir de los números naturales, debe usar alguna teoría de conjuntos para proporcionar las herramientas necesarias para esa construcción (cortes de Dedekind, clases de equivalencia de secuencias de Cauchy, etc.). En la mayoría de las teorías de conjuntos modernas, la igualdad y sus propiedades básicas se toman como dadas en la lógica subyacente. En algunas teorías de conjuntos más antiguas, se definía la igualdad: por ejemplo, algunos autores definieron X = y significar ∀ z ( z ∈ X ⟺ z ∈ y ) . Luego, la definición facilita la demostración de las propiedades básicas de la igualdad como aquellas sobre las que preguntaste.
Solo para aclarar, ¿su segunda pregunta es cómo podemos ver rigurosamente que estos son teoremas, o cómo uno los justifica informalmente?
@Malice Vidrine rigurosamente, gracias
Gracias por todas tus respuestas. Permítanme leer algo de esta lógica de primer orden. gracias de nuevo

Respuestas (1)

¿Son axiomas de algún tipo y, en caso afirmativo, de qué teoría?

Yhe son los axiomas lógicos de primer orden para la igualdad .

¿Por qué x=xx=xx=x? ¿Por qué x=yx=yx=y y y=zy=zy=z implican x=zx=zx=z? (Suponga que xxx, yyy y zzz son reales).
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