¿Qué sistemas de coordenadas permiten que la magnitud de los vectores base cambie con la posición?

La única base de coordenadas ortonormales es la base de coordenadas cartesianas. Los vectores base para, por ejemplo, la base de coordenadas polares son ortogonales pero no normalizados.

Eso no significa que uno no pueda normalizar los vectores polares básicos para obtener la base de la unidad polar , pero esa base no es una base de coordenadas .

Para la base de coordenadas cartesianas, los vectores base son ortonormales:

$$\vec e_x \cdot \vec e_x = g_{xx} = 1$$

$$\vec e_y \cdot \vec e_y = g_{yy} =1$$

$$\vec e_x \cdot \vec e_y = g_{xy} = g_{yx}= 0$$

y el elemento de línea es

$$dl^2 = g_{xx}dx^2 + g_{yy}dy^2 + 2g_{xy}dxdy = dx^2 + dy^2$$

Ahora, las coordenadas polares están definidas por

$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

de este modo

$$x = r \cos \theta$$

$$y = r \sin \theta$$

y los vectores de base de coordenadas polares son entonces

$$\vec e_r = \frac{\partial x}{\partial r}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial r}\vec e_y = \cos \theta \; \vec e_x + \sin \theta \; \vec e_y$$

$$\vec e_\theta = \frac{\partial x}{\partial \theta}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \theta}\vec e_y = -r \sin \theta \; \vec e_x + r \cos \theta \; \vec e_y$$

entonces

$$\vec e_r \cdot \vec e_r = g_{rr}=1$$

$$\vec e_\theta \cdot \vec e_\theta = g_{\theta \theta}= r^2$$

$$\vec e_r \cdot \vec e_\theta = g_{r\theta} = g_{\theta r} = 0$$

y el elemento de línea es

$$ds^2 = g_{rr}dr^2 + g_{\theta \theta}d\theta^2 + 2g_{r\theta}drd\theta = dr^2 + r^2d\theta^2$$

Finalmente, preguntamos si las coordenadas$\{\hat r, \hat \theta\}$se puede encontrar para la base polar unitaria tal que

$$\vec e_{\hat r} = \vec e_r = \frac{\partial x}{\partial \hat r}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \hat r}\vec e_y = \cos \theta \; \vec e_x + \sin \theta \; \vec e_y$$

$$\vec e_\hat \theta = \frac{1}{r}\vec e_\theta = \frac{\partial x}{\partial \hat \theta}\vec e_x + \frac{\partial y}{\partial \hat \theta}\vec e_y = -\sin \theta \; \vec e_x + \cos \theta \; \vec e_y$$

si hay coordenadas$\{\hat r, \hat \theta\}$, entonces

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial^2 x}{\partial \hat \theta \partial \hat r }$$

$$\frac{\partial^2 y}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial^2 y}{\partial \hat \theta \partial \hat r }$$

pero

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat r \partial \hat \theta} = \frac{\partial}{\partial \hat r} (-\sin \theta) = \frac{\partial}{\partial \hat r}\left(-\frac{y}{r}\right) = \frac{\partial}{\partial r}\left(-\frac{y}{r}\right) = \frac{y}{r^2}$$

$$\frac{\partial^2 x}{\partial \hat \theta \partial \hat r} = \frac{\partial}{\partial \hat \theta} (\cos \theta) \ne \frac{y}{r^2}$$

y por lo tanto coordina${\hat r, \hat \theta}$no existe; la base polar unitaria no es una base de coordenadas .

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Para ver mejor esto, considere las curvas de nivel del sistema de coordenadas polares:

Los círculos concéntricos representan la base de una sola forma.$\tilde dr$dual a la$r$vector base$\vec e_r$. Tenga en cuenta que el espaciado de los círculos es constante, lo que significa que la magnitud de$\tilde dr$es constante

Las líneas radiales representan la base de una sola forma.$\tilde d\theta$dual a la$\theta$vector base$\vec e_\theta$. Tenga en cuenta que como el$r$aumenta la coordenada, aumenta el espaciado entre las líneas radiales o, dicho de otro modo, la densidad va como$\frac{1}{r}$así la magnitud de$\tilde d\theta$no es constante y, de hecho, es sólo$\frac{1}{r}$

$$\tilde d\theta \cdot \tilde d\theta = \frac{1}{r^2}$$

Pero desde

$$\langle\tilde d\theta, \vec e_\theta\rangle = 1$$

resulta que

$$\vec e_\theta \cdot \vec e_\theta = r^2$$

Ahora es fácil 'ver' por qué la base polar unitaria no es una base de coordenadas; si

$$\vec e_\hat \theta \cdot \vec e_\hat \theta = 1$$

luego las líneas radiales (líneas de constante$\hat \theta$) debe tener una densidad constante, pero las líneas radiales no pueden tener una densidad constante.

Si tiene un sistema de coordenadas, podría moverse a lo largo de una coordenada, lo que indica algunos vectores que podría usar como base.

Estos vectores pueden ser ortogonales, eso depende de sus coordenadas (piense, ¿la métrica se ve diagonal en esas coordenadas)?

Pero incluso si sus coordenadas son ortogonales, aún debe elegir una magnitud para estos vectores. Hay un par de opciones naturales.

Una opción es convertirlos en vectores ortonormales. Esa elección se desarrolla exactamente como esperas.

Otra opción es tener una base de coordenadas. Si sus coordenadas son cartesianas, resulta que puede hacer ambas cosas. Y la mayoría de los cursos introductorios no dan mucha importancia a cómo una base ortonormal generalmente no es una base de coordenadas. Y lo hacen porque no quieren distinguir entre covectores y vectores.

Entonces, ¿qué es una base de coordenadas? Si representa el gradiente como un covector, entonces el gradiente puede actuar sobre un elemento de base de coordenadas para dar la derivada parcial en la dirección de esa coordenada. Esto no se sostiene en una base no coordinada.

Un ejemplo es la base$\hat \theta$y$\hat r$que son vectores unitarios que apuntan en sentido antihorario y radial hacia afuera, respectivamente. Ese es un ejemplo de una base no coordinada. Una base de coordenadas tendría vectores que apuntarían en la misma dirección pero tendrían diferentes longitudes.

¿Qué longitudes mágicas las convierten en una base de coordenadas?

Si los vectores son como vectores columna (matrices nx1), entonces un covector es como un vector fila (matrices 1xn). ¿Por qué? Porque hay una acción lineal natural de covectores en vectores y esa notación nos recordará exactamente eso.

Entonces, cuando usa una base de coordenadas, es tan simple como decir que el gradiente de f es$[ \partial f /\partial r \quad \partial f /\partial \theta].$Puede pensar en ello como un montón de curvas de nivel, está tratando de decirle la tasa de cambio f si conoce la tasa de cambio de su posición. Entonces, si tuvieras una base de coordenadas, podrías imaginar$r(t)$y$\theta(t)$como coordenadas parametrizadas y luego para un pequeño intervalo de parámetros$\Delta t$obtienes un correspondiente$\Delta r$y$\Delta \theta$entonces puedes calcular$\Delta f$de$(\partial f /\partial r )\Delta r+ (\partial f /\partial \theta)\Delta\theta.$Entonces, para una base de coordenadas, desea vectores que apunten en la dirección correcta para que los coeficientes frente al vector de diferencia sean$\Delta r$y$\Delta \theta.$Y dado que el desplazamiento real es$(\Delta r )\hat r+ (r\Delta \theta)\hat\theta.$Por lo tanto, los vectores de coordenadas son$\hat r$y$r\hat\theta.$

Entonces puedes tener la base ortonormal.$\{\hat r,\theta\}$o la base de coordenadas$\{\hat r,(1/r)\hat \theta\}.$El segundo interactúa naturalmente con el gradiente.

Con una base de coordenadas, puede moverse en rutas parametrizadas que tienen la base de coordenadas como tangentes y es como moverse en un papel cuadriculado que está deformado por las coordenadas. Sobre cierto parámetro significa sobre cierta coordenada, así que sobre uno sobre el otro atrás el uno y atrás el otro termina donde empezaste. Si realiza un transporte paralelo a lo largo de ese camino, puede encontrar la curvatura al ver cómo cambió el vector, pero para terminar donde comenzó, se requiere que mueva una cantidad de coordenadas en lugar de una distancia.