¿Cómo definimos correctamente un sistema de coordenadas, en particular su relación con los espacios vectoriales?

Me gustó la discusión en "Un enfoque geométrico de las formas diferenciales" de David Bachman, y "Tensores, formas diferenciales y principios de variación" Lovelock & Rund.

En primer lugar, los espacios vectoriales no necesitan sistemas de coordenadas. Los espacios vectoriales se pueden definir muy bien en términos abstractos. Un gran libro aquí es Halmos "Espacios vectoriales de dimensión finita". El libro de Axler (sugerido arriba) también es genial.

En física, normalmente queremos hablar de espacios, y en particular de espacios topológicos, y en particular de variedades diferenciables. Digamos que tienes tal variedad$M$y una función escalar$F$definido en este$M$. La función se puede ver como un mapa de la variedad al espacio de los números reales.$F: M\to \mathbb{R}$, es decir, para cada punto$p\in M$en la variedad la función tiene un valor real.

Además, trabajar con puntos abstractos en la variedad es engorroso, por lo que generalmente se define un mapa a partir de números reales, o producto cartesiano de varios espacios de números reales a la variedad, es decir$\varphi:\mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to M$. tal que para cada$p\in M$hay una única tupla de números reales$\{x^i\}_{i=1 \dots N}$, tal que$\varphi\left(x^1,\,x^2\,\dots\right)=p$. Este es el sistema de coordenadas. Ahora podemos definir$f=F\circ\varphi: \mathbb{R}\times\dots\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

A continuación, por lo general queremos saber cuánto$F$cambia cuando pasamos de$p_1=\varphi\left(x^1\dots\right)$a$p_2=\varphi\left(x^1+\delta x^1\dots\right)$. Esto se puede expresar como$df=\sum_i \delta x^i \frac{\partial f}{\partial x^i}=\delta x^i \partial_i f$. Ahora, podemos notar que existe una similitud entre los espacios vectoriales y las derivadas parciales, ambos se pueden sumar, multiplicar por números reales, etc. La analogía es tan buena que puedes definir un espacio vectorial tangente en el punto$p\in M$. Este espacio vectorial tangente, denotado por$T_p M$, contiene todas las combinaciones lineales de derivadas parciales de primer orden en$p$, es decir$T_p M=\{\partial_1, \partial_1 + \partial_2, \partial_1 -3 \partial_2\dots\}$. Ese es el espacio vectorial que buscabas. En particular, un vector$v\in T_p M$,$v=v^i\partial_i$es un operador diferencial que se puede aplicar a cualquier función en$M$dar$v.f=v^i \partial_i f$, dónde$v^i$son números (reales).

Tenga en cuenta que este espacio vectorial solo se define en un solo punto de la variedad. El conjunto de espacios tangentes en todos los puntos se denomina paquete tangente. Hay muchas más cosas que cubrir allí. Sternberg lo analiza en "Teoría y física de grupos".

Entonces, ¿cuál es la utilidad práctica de una definición tan larga? Bueno, definir tu base vectorial a través de derivadas puede ser bastante elegante. Por ejemplo, se puede demostrar que los vectores de base cartesiana en 3d están dados por$\mathbf{\hat{x}}=\boldsymbol{\nabla}x,\,\mathbf{\hat{y}}=\boldsymbol{\nabla}y,\,\mathbf{\hat{z}}=\boldsymbol{\nabla}z$. De manera similar, podemos definir una base no normalizada para las coordenadas esféricas como$\boldsymbol{e}_r = \boldsymbol{\nabla}r,\, \boldsymbol{e}_\theta = \boldsymbol{\nabla}\theta, \boldsymbol{e}_\phi = \boldsymbol{\nabla}\phi$. Así que para cualquier función$f=f\left(r,\,\theta,\,\phi\right)$, por definición,

$\boldsymbol{\nabla}f=\boldsymbol{e}_r\partial_r f + \boldsymbol{e}_\theta\partial_\theta f+ \boldsymbol{e}_\phi\partial_\phi f$,

pero equivalentemente

$\boldsymbol{\nabla}f=\mathbf{\hat{x}}\partial_x f + \mathbf{\hat{y}}\partial_y f + \mathbf{\hat{z}}\partial_z f$.

Y si$f=\theta$? Entonces:

$\boldsymbol{e}_\theta = \mathbf{\hat{x}}\partial_x \theta + \mathbf{\hat{y}}\partial_y \theta + \mathbf{\hat{z}}\partial_z \theta$

Entonces, ahora que conoce la descomposición de uno de los vectores de base esférica en la base cartesiana del cálculo, ¡no necesita esos molestos diagramas! Por ejemplo$\tan\theta=\sqrt{x^2+y^2}/z$, entonces

$\partial_x \tan\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}\partial_x \theta = \frac{x}{z\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\cos\phi}{r\cos\theta}$, entonces:

$\partial_x \theta = \frac{\cos\phi\cos\theta}{r}$

etc.

Después de un poco de trabajo, puede recuperar la base esférica normalizada.$\mathbf{\hat{r}}=\boldsymbol{e}_r,\,\boldsymbol{\hat{\theta}}=r\boldsymbol{e}_\theta\,\boldsymbol{\hat{\phi}}=r\sin\theta\boldsymbol{e}_\phi$

¿Así que lo que? Bueno, ¿qué hay de tomar curl?

$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\hat{\theta}}=\boldsymbol{\nabla}\times r.\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\nabla}r\times\boldsymbol{\nabla}\theta=\boldsymbol{\hat{r}} \times \boldsymbol{\hat{\theta}}/r$

Mucho más fácil que tratar de trabajar desde coordenadas cartesianas

¿Pueden existir sistemas de coordenadas sin un espacio vectorial?

Sí. Por ejemplo, hay un sistema de coordenadas en la superficie de la Tierra llamado latitud y longitud. Pero la superficie de una esfera no es un espacio vectorial.

¿Cómo podemos expresar esto matemáticamente?

En el caso de una superficie esférica, una forma común es con un ángulo polar$\theta$y un angke azimutal$\phi$.

Me inclino a decir que se impone un sistema de coordenadas en el espacio vectorial de modo que los ejes están en la dirección de los vectores base, y que las coordenadas son los componentes escalares del vector en cualquier punto dado.

Básicamente sí. Pero hablando más formalmente, si elige un conjunto base,$B_1, B_2, ..., B_n$para algún espacio vectorial, entonces para cualquier$V$que es un miembro del espacio puedes encontrar escalares únicos$a_1, a_2,...,a_n$tal que$V=a_1B_1+a_2B_2+\dots+a_nB_n$.

El$a_1, a_2,...,a_n$son las coordenadas de$V$.