¿La posición del espacio-tiempo no forma un vector de cuatro?

Cuando uno comienza a aprender sobre física, los vectores se presentan como cantidades matemáticas en el espacio que tienen una dirección y una magnitud. Este punto de vista geométrico ha codificado en él la idea de que, bajo un cambio de base, las componentes del vector deben cambiar de forma contravariante de modo que la magnitud y la dirección permanezcan constantes. Esto restringe qué ideas físicas pueden ser los componentes de un vector (algo mucho mejor explicado en las Conferencias de Feynman), de modo que tres funciones arbitrarias no forman un vector honesto. A → = A X X ^ + A y y ^ + A z z ^ en alguna base. Entonces, en relatividad, un vector se define "geométricamente" como operadores derivados direccionales en funciones en la variedad METRO y esto implica, si A m son las componentes de un vector en el sistema de coordenadas X m , entonces las componentes del vector en el sistema de coordenadas X m ′ son

A m ′ = ∂ X m ′ ∂ X m A m
(todo esto viene del hecho de que los operadores ∂ ∂ X m = ∂ m formar una base para los operadores derivados direccionales, ver Spacetime and Geometry de Sean Carrol)
Mi problema es el hecho de que demasiada gente usa las coordenadas X m como ejemplo de un vector, cuando, en una transformación arbitraria,
X m ′ ≠ ∂ X m ′ ∂ X m X m
Entiendo que esta ecuación es cierta si la transformación entre las dos coordenadas es lineal (como es el caso de una transformación de lorentz entre sistemas de coordenadas cartesianas) pero creo que no puede ser cierta en general. ¿Estoy en lo cierto en que la posición no forma un vector de cuatro? Si no, ¿puede decirme por qué mi razonamiento es defectuoso?

donde has visto X m siendo tratado como un vector?
Véase, por ejemplo, la mecánica clásica de Goldstein.
@PraharMitra pero al cambiar de coordenadas cartesianas a polares (incluso en SR), tenemos una matriz de transformación ∂ X m ′ / ∂ X m por lo tanto, las coordenadas se transforman como X m ′ = ∂ X m ′ / ∂ X m X m . Me equivoco
@Shashaank estás equivocado. Las coordenadas no se transforman así.
@PraharMitra no tenemos una matriz (matriz jacobiana) ∂ X m ′ / ∂ X m al cambiar las coordenadas de cartesianas a polares?
Tenemos una matriz jacobiana. Nos dice cómo se transforman otras cosas (como vectores y tensores), pero NO coordenadas.
@PraharMitra sí, ahora veo. Usamos la matriz jacobiana ∂ X m ′ / ∂ X m para transformar tensores y vectores. La transformación de coordenadas ( X = r C o s ( θ ) etc) no se seguirán de esa matriz. Pero eso me hace preguntar si podemos representar una transformación no lineal a través de una ecuación matricial. Sé que obviamente se pueden hacer transformaciones lineales. Pero por lo que recuerdo, leí en algún lugar de este sitio que las transformaciones no lineales ni siquiera pueden representarse mediante una ecuación matricial. No puedo ver eso inmediatamente. ¿Puede decir por qué o sugerir una fuente si las respuestas requieren una explicación larga?
@Shashaank, quizás confundas algunas cosas aquí. Las coordenadas se transforman de forma no lineal. Los vectores y el tensor se transforman linealmente, por lo que su transformación se puede describir mediante matrices.
@PraharMitra 1) ¿Cómo es lineal la transformación de vectores? Quiero decir, ¿cómo lo ves matemáticamente? 2) lo que preguntaba en un contexto general era ¿por qué no puedo representar una transformación no lineal en términos de una ecuación matricial?
@Shashaank: podemos continuar la discusión en el chat

Respuestas (4)

Estás en lo correcto.

La posición es un vector cuando trabajas en un espacio vectorial, ya que, bueno, es un espacio vectorial. Incluso entonces, si usa un sistema de coordenadas no lineal, las coordenadas de un punto expresadas en ese sistema de coordenadas no se comportarán como un vector, ya que un sistema de coordenadas no lineal es básicamente un mapa no lineal del espacio vectorial a R norte , y los mapas no lineales no conservan la estructura lineal.

En una variedad, no tiene sentido intentar "vectorizar" puntos. Un punto es un punto, un elemento de la variedad, un vector es un vector, elemento de un espacio tangente en un punto. Por supuesto, puede mapear puntos en norte -tuplas, eso es parte de la definición de una variedad topológica, pero no hay razón por la cual el inverso de este mapa deba llevar la estructura lineal a la variedad.

Y ahora, para una opinión puramente personal: si bien el libro de Carroll es realmente bueno, la forma en que el físico intenta categorizar todo por "propiedades de transformación" es extremadamente contraproducente y conduce a malentendidos como los que ha superado aquí. Si uno aprende la teoría adecuada de las variedades, esto queda claro desde el principio...

Conciso y preciso, +1! :)
@GennaroTedesco: Se llama "sucinta" :P
Vote a favor por su excelente respuesta, pero me gustaría señalar que los físicos en general no confunden la posición con un vector. Hemos pasado un par de siglos discutiendo entre nosotros sobre la relatividad galileana e incluso un profesor de física de secundaria capaz puede explicar la diferencia entre un mapa de puntos (etiquetas) y vectores físicos que viven en el espacio tangente sin necesidad de ir a la definición formal de colectores. Desafortunadamente, no todos los maestros son capaces y no todos los estudiantes captan la sutileza. OTOH, los estudiantes que no lo hagan tampoco se beneficiarán de una conferencia sobre las variedades de Riemann.
@CuriousOne Tu última oración es interesante. Ciertamente es cierto que si un estudiante tiene problemas para comprender la diferencia, entonces tal vez no esté listo para la geometría de Riemann. Por otro lado, un mal maestro es como un mal compañero de dibujo en Pictionary: capaz de enviar incluso a los estudiantes más brillantes por el camino equivocado.
@Mehrdad Cierto, ¡pero el sonido de la frase de Gennaro también es genial!
@WetSavannaAnimalakaRodVance: Amén.
Si el X m no son vectores, ¿por qué Caroll dice que las coordenadas se transforman como vectores contravariantes? ¿Y por qué subimos y bajamos los índices sobre ellos como si fueran vectores?
@Shashaank No tengo el libro frente a mí en este momento, pero presumiblemente Carroll dice eso durante el capítulo de relatividad especial donde es cierto (eso es para el espacio-tiempo de Minkowski). No es cierto para las variedades generales.
@BenceRacskó también lo hará en GR X m ( dónde X m es una coordenada) no se transforma a través de la regla X m ′ = ∂ X m ′ ∂ X v X v (¿Cuál es la regla para la transformación de vectores contravariantes? Y también cuando elevamos e indexamos en gramo a b X b = X a , esto solo funcionará cuando X no denota una coordenada pero es un campo vectorial real? ¿Es correcto lo que digo arriba, especialmente el primer punto? Déjame saber lo que piensas.
@Shashaank tienes razón. En GR, las coordenadas NO se transforman así. Tampoco puede subir y bajar índices en las coordenadas.
@PraharMitra sí, me confundí porque bajamos los índices en d X m y $\dot{x}^\{mu}, pero uno es un covector base (una forma) y el otro es un vector contravariante de velocidad. ¿Está bien?

Gran razonamiento: como en la fantástica respuesta de Uldreth, pero agregaría una cosa más que puede ayudar a consolidar su buen entendimiento en su lugar.

Las coordenadas no son vectores en absoluto, son etiquetas en los gráficos y no son más vectores de lo que la dirección de la calle es un vector. Es casi seguro que la razón por la que la gente da a entender que usted ha identificado correctamente como incorrecto es la siguiente: en el espacio plano ( es decir , Euclidiano, Minkowski o espacios generalmente firmados), las coordenadas afines para las posiciones pueden tener dos roles: son etiquetas y (una vez uno ha elegido un origen) pesos de superposición que combinan tangentes de base lineala la variedad Euclidiana (Minkowski...) linealmente para producir una tangente general a la variedad. Si lo piensas bien, lo que acabo de decir es una versión ligeramente diferente del segundo párrafo de Uldreth que comienza "La posición es un vector...".

Vale la pena decir que definitivamente recuerdo la siguiente secuencia de aprendizaje cuando era adolescente. Cuando comencé la escuela secundaria alrededor de los 11 años, me mostraron por primera vez las coordenadas (cartesianas, por supuesto) como etiquetas . Sospecho que así es como se les presenta a todos los niños. Recuerdo claramente la idea de que solo dos años después se introdujo la noción (que solo funciona para coordenadas cartesianas y generalmente afines) de las coordenadas de un punto como un vector de posición . Antes de eso tenía una idea muy clara de un vector como un desplazamiento o enlace entre dospuntos, una idea que, a través del límite apropiado, conduce a la idea tangente en una variedad general. Al leer su pregunta, me río cuando recuerdo que el maestro insinuó que el segundo papel de las coordenadas como vectores de posición era una forma "nueva y avanzada" de ver los vectores, mientras que, por el contrario, es una forma de pensar que correctamente entendemos que es muy limitado y sólo trabajable en el caso afín.

Aquí hay una manera básica y sencilla de ver que las tuplas de coordenadas no son 4 vectores.

Comience en un sistema de coordenadas inercial en un espacio-tiempo plano. Cambia el sistema de coordenadas con una traslación constante:
X ′ = X + A
y ′ = y
z ′ = z
t ′ = t

Incluso en este caso idealista, los 4 vectores y las tuplas de coordenadas se transforman de manera diferente. Los componentes de los 4 vectores no cambian en absoluto en este caso, mientras que las tuplas de coordenadas sí lo hacen.

Y esto, veamos otro punto: una transformación lineal que cambia el punto de origen destruye la idea de "vector de posición", pero aún se podría salvar el concepto de "vector de desplazamiento". Si la transformación es no lineal eso también se pierde.

Correcto: los vectores en relatividad general viven en algún espacio tangente. Este es el punto de la geometría diferencial y del cálculo en general: aproxima cosas no lineales, que no son espacios vectoriales (como variedades con curvas) con cosas lineales (como sus espacios tangentes), que son espacios vectoriales. Esta es exactamente la motivación para definir los vectores base como ∂ m , como usted describe.

¿La posición del espacio-tiempo no forma un vector de cuatro?
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