¿Cómo calculó Halley la distancia al Sol midiendo el tránsito de Venus?

El método de Halley requiere que uno mida el momento del comienzo del tránsito y el final del tránsito; ambos datos deben medirse en dos lugares del globo terrestre cuyas ubicaciones deben conocerse.

La imagen de Vermeer, Duckysmokton, Ilia muestra que los dos lugares de la Tierra tienen ubicaciones diferentes en dos direcciones diferentes (las diferencias en la distancia entre el Sol y Venus son demasiado pequeñas para ser medibles): uno de ellos es paralelo a la dirección de el tránsito de Venus y se reflejará en el cambio general de tiempo; el otro componente es transversal a él y en realidad cambiará la línea a lo largo de la cual Venus se mueve y cruza el Sol en la dirección arriba/abajo, es decir, hará que la duración del tránsito sea más larga.

Cada uno de estos datos, el cambio general en el tiempo que surge de la diferencia de una coordenada entre las dos ubicaciones terrestres, y la diferencia entre la duración del tránsito, debido a la otra coordenada, son en principio suficientes para determinar la paralaje solar. Debido a que la sincronización de relojes en lugares muy diferentes era difícil hace siglos, supongo que esto último, la diferencia entre$\Delta t_1$y$\Delta t_2$– fue probablemente más útil históricamente. Pero estamos hablando de diferencias de O(10) minutos en ambas cantidades.

El cálculo de la paralaje de$\Delta t_1$y$\Delta t_2$y su diferencia es un simple ejercicio de geometría, pero quiero evitar las funciones trigonométricas aquí.

En cualquier caso, Halley no vivió para ver una medida adecuada (el tránsito ocurre aproximadamente dos veces por siglo y los dos eventos se agrupan con una interrupción de 8 años en el medio). Lo mejor que pudo obtener fue 45 segundos angulares para el paralaje; la respuesta correcta es aproximadamente 8,8 segundos. Sabía que su resultado era muy inexacto. Tenga en cuenta que la paralaje solar es el ángulo en el que el radio de la Tierra se ve desde el Sol, es decir, la diferencia en los rayos necesarios para observar el Sol desde el centro de la Tierra y/o un punto en la superficie del disco de la Tierra.

Cuando conviertes 8,8 segundos angulares a radianes, es decir, multiplicas por$1/3,600\times \pi/180$, usted obtiene$4.3\times 10^{-5}$. Ahora, divida 6378 km por este pequeño número para obtener alrededor de 150 millones de km para la UA.

Algunas estimaciones de órdenes de magnitud para los números. Venus orbita a 0,7 AU, por lo que en realidad está más cerca de la Tierra que del Sol durante el tránsito. Significa que un desplazamiento de 6.000 km hacia arriba/abajo en el lado de la Tierra corresponde a unos 12.000 km hacia arriba/abajo en el lado del Sol. Entonces, las dos líneas horizontales que cruzan el Sol en la imagen (lugares en la superficie solar donde Venus se "proyecta") pueden estar separadas por unos 12,000 km. Compárelo con el radio solar cerca de 700 000 km: puede ver que estamos desplazando las líneas horizontales en aproximadamente un 1 % del radio del Sol y la diferencia relativa entre$\Delta t_1$y$\Delta t_2$será comparable al 1%, también. El último tránsito en 2004 duró unas 6 horas, por lo que la diferencia en la duración en varios lugares es del orden de 10 minutos.

El tránsito de Venus de 2012 el martes por la noche UTC también tomará más de 6 horas; el tiempo y la duración también difieren en aproximadamente 7 minutos dependiendo de la ubicación.

Si has estado soñando con observar el tránsito de Venus, no te olvides del martes a las 22:49 de la noche UTC; los siguientes tránsitos ocurrirán en 2117 y 2125. También hay una versión de blog de esta respuesta.

Esta publicación detalla los pasos de una determinación básica de la paralaje solar de un tránsito de Venus. Las referencias son:

1) Blatter, "Venustransit 2004" (pdf) , que tiene una buena derivación

2) El Tránsito de Venus de 2004 , que funciona a través de un ejemplo hipotético simple construido a partir de los datos del tránsito de 2004.

En todo momento, los ángulos se miden de diversas formas en radianes, grados, minutos de arco y segundos de arco, según convenga:

• 1 grado =$\pi$/180=0,0175 radianes = 60 minutos de arco = 3600 segundos de arco.

Los pasos (AH):

A) Se hacen observaciones del tránsito desde posiciones muy separadas de la tierra. La Referencia 2 crea un caso simple utilizando El Cairo (30N de latitud, 32E de longitud) y Durban (30S de latitud, 31E de longitud), que forman una línea de base norte-sur de$0.917 R_E$, dónde$R_E$es el radio terrestre de 6.371 km.

(Descargo de responsabilidad legal: ¡Advertencia! ¡No intente esto en casa sin protección! ¡Mirar directamente al sol dañará sus ojos de forma permanente!)

B) Determine la separación angular de las dos pistas de tránsito (casi superpuestas) (cuerdas en el disco solar) a partir de los datos de tránsito. Hay varios métodos, todos dependiendo crucialmente de la duración del tránsito. La referencia 1 usa construcciones de triángulos rectángulos mientras que la referencia 2 usa el medio ángulo incluido$\theta$del acorde:

A partir de esta geometría, la Referencia 2 calcula la separación de vías$\Delta \beta$(Ellos lo llaman$D$, pero estoy siguiendo la notación de la Referencia 1).

dónde:

• $\Delta \beta$es la separación angular de la pista, en las mismas unidades que$R-r$

• $R$es la mitad del diámetro angular del sol (31,5/2=15,75 minutos de arco),

• $r$es la mitad del diámetro angular de Venus (1/2 = 0,5 minutos de arco),

• $\theta = 46.62$grados para el tránsito de 2004,

• la duración media del tránsito$T=19790.5$s (5,5 horas), y

• $\Delta T$es la diferencia en los tiempos de tránsito entre las dos ubicaciones, 529 s, poco menos de 9 minutos.

Con estos parámetros, la separación de pistas es$\Delta \beta = 0.314$minutos de arco (alrededor de 1/3 del diámetro aparente de Venus), o 18,81 segundos de arco.

C) Esta separación de vías$\Delta \beta$no es el paralaje solar$\alpha_s$, en cambio, es la diferencia de la paralaje de Venus$\alpha_v$y$\alpha_s$. La geometría se representa en la maravillosa Figura 3.2 de la Referencia 1:

De esta geometría:

• Para el triángulo ABV:$\alpha_v+(\epsilon_B+\beta_B)+(\epsilon_A-\beta_A)=180$grados (o$\pi$radianes)

• Para el triángulo ABO:$\alpha_s+\epsilon_B+\epsilon_A=180$

• Sustituyendo, se encuentra$\alpha_v-\alpha_s=\beta_A-\beta_B=\Delta \beta$

D) Los paralajes solar y venusino están relacionados por sus distancias relativas a la tierra:

dónde

• los dos paralajes$\alpha_s$y$\alpha_v$ahora están en radianes

• $b$es la línea de base establecida por las medidas de tránsito en A y B (Cairo y Duran en el ejemplo de la Referencia 2, con el resultado$b=0.917 R_E = 5,843$kilómetros).

• $d_{es}$,$d_{ev}$, y$d_{vs}$son las distancias (desconocidas) de la tierra al sol, de la tierra a venus, de venus al sol, respectivamente.

Sustituyendo se obtiene$\alpha_s=(d_{es}/d_{vs}-1) \Delta \beta$(donde ahora$\alpha_s$está en cualquier unidad$\Delta \beta$es)

E) La tercera ley de Kepler (los cuadrados de los periodos orbitales son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores), nos permite determinar$d_{vs}$en términos de$d_{es}$. Dado que el período orbital de Venus es de 0,616 años,$d_{vs}/d_{es}=0.616^{2/3}=0.724$AU (unidades astronómicas, 1AU = semieje mayor de la tierra, o nominal$d_{es}$).

F) Finalmente, sustituyendo en la ecuación por$\alpha_s$en el paso D) da$\alpha_s=$(1,015/0,724-1)(18,81)=7,56 segundos de arco. (Según la referencia 2, la distancia de la tierra al sol en el momento del tránsito de 2004 era de 1,015 AU).

G) El paralaje solar estándar$p_s$se refiere a una línea de base de 1 radio terrestre, frente a la línea base de 0,917 de radio terrestre utilizada en la medición hipotética de la Referencia 2. Escalando, uno encuentra$p_s=\alpha_s$/0,917=8,37 segundos de arco.

El valor aceptado de la paralaje solar es de 8,79 segundos de arco, por lo que el error del ejemplo es de alrededor del 5 %.

H) Convirtiendo la paralaje solar calculada a radianes, 8,37 segundos de arco -> 40,58 microrradianes, se calcula$d_{es} =$1 AU = 6371/40,58E-6 = 157,0 millones de km, también un error del 5% del valor aceptado de 149,5 millones de kilómetros.