Derivación de la velocidad del grupo

Question

Derivación de la velocidad del grupo

ondas
Física
superposición
velocidad de fase
mecánica cuántica

71GA

En la fase de introducción a la mecánica cuántica $v_p$ y grupo $v_g$ velocidades se presentan a menudo. yo se como derivar $v_p$ y obtener la ecuación:

v_{pag} = \frac{ω}{k} .

$\scriptsize v_p=\frac{\omega}{k}.$

Lo que no sé es cómo explicar una derivación de una velocidad de grupo. $v_g$ a mí mismo. Nuestro profesor lo derivó, pero tengo algunas dificultades con él.

1º hizo una superposición de 2 ondas con la misma amplitud $s_0$ :

\begin{aligned} s & = s_{0} pecado (ω_{1} t - k_{1} X) + s_{0} pecado (ω_{2} t - k_{2} X) \\ s & = s_{0} [pecado (ω_{1} t - k_{1} X) + pecado (ω_{2} t - k_{2} X)] \\ s & = 2 s_{0} [pecado (\frac{(ω_{1} t - k_{1} X) + (ω_{2} t - k_{2} X)}{2}) \cdot porque (\frac{(ω_{1} t - k_{1} X) - (ω_{2} t - k_{2} X)}{2})] \\ s & = 2 s_{0} [pecado (\frac{ω_{1} + ω_{2}}{2} t - \frac{k_{1} + k_{2}}{2} X) \cdot porque (\frac{ω_{1} - ω_{2}}{2} t - \frac{k_{1} - k_{2}}{2} X)] \\ s & = 2 s_{0} [pecado (\bar{ω} t - \bar{k} X) \cdot porque (\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} X)] \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} s &= s_0 \sin(\omega_1t-k_1x) + s_0 \sin(\omega_2t - k_2 x)\\ s &= s_0 \left[ \sin(\omega_1t-k_1x) + \sin(\omega_2t - k_2 x) \right]\\ s &= 2s_0 \left[ \sin\left(\frac{(\omega_1t-k_1x)+(\omega_2 t -k_2 x)}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{(\omega_1t-k_1x)-(\omega_2t - k_2 x)}{2}\right) \right]\\ s &= 2s_0 \left[ \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t - \frac{k_1 + k_2}{2} x\right) \cdot \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t - \frac{k_1 - k_2}{2} x\right) \right]\\ s &= 2s_0 \left[ \sin\left(\overline \omega t - \overline{k} x\right) \cdot \cos\left(\frac{\Delta \omega}{2} t - \frac{\Delta k}{2} x\right) \right]\\ \end{split}$

Aquí $\overline \omega$ Es mas grande que $\Delta \omega$ y por eso:

$\scriptsize\sin \left(\overline{\omega}t - \overline k x\right)$ es una parte que declara un sobre y
$\scriptsize\cos \left(\frac{\Delta{\omega}}{2}t - \frac{\Delta k}{2} x\right)$ es una parte que declara fases dentro de un sobre .

ingrese la descripción de la imagen aquí

Entonces el profesor toma solo una parte que declara una envolvente y dice que la fase de esta parte debe ser constante así:

\frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} X = C o norte s t .

$\scriptsize\frac{\Delta{\omega}}{2}t - \frac{\Delta k}{2} x = const.$

PREGUNTA: ¿Qué significa esto? ¿Una fase constante significa mirar solo un punto que siempre está a la misma distancia de $x$ ¿eje? Por favor alguien explique esto un poco.

Bueno, entonces deriva la velocidad del grupo fácilmente de ahora en adelante así:

\begin{aligned} \frac{Δ ω}{2} t - \frac{Δ k}{2} X & = C o norte s t . \\ \frac{Δ k}{2} X & = \frac{Δ ω}{2} t - C o norte s t . \\ X & = \frac{Δ ω}{Δ k} t - \frac{2}{Δ k} C o norte s t . \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} \frac{\Delta{\omega}}{2}t - \frac{\Delta k}{2} x &= const.\\ \frac{\Delta k}{2} x &= \frac{\Delta{\omega}}{2}t - const.\\ x &= \frac{\Delta{\omega}}{ \Delta k} t - \frac{2}{\Delta k}const.\\ \end{split}$

Si diferencio parcialmente $x$ finalmente obtengo la velocidad del grupo:

\begin{aligned} v_{gramo} & = \frac{\partial X}{\partial t} \\ v_{gramo} & = \frac{Δ ω}{Δ k} \\ v_{gramo} & = \frac{d ω}{d k} \end{aligned}

$\scriptsize \begin{split} v_g &= \frac{\partial x}{\partial t} \\ v_g&= \frac{\Delta{\omega}}{ \Delta k}\\ v_g&= \frac{\textrm d{\omega}}{ \textrm d k} \end{split}$

Respuestas (2)

Derivación de la velocidad del grupo

Roy Simpson · Answer 1

En la fórmula original tenemos que

ω_{1} t - k_{1} X = A

$\omega_1t-k_1x = A$ decir, y

ω_{2} t - k_{2} X = B

$\omega_2t-k_2x = B$ decir, por hipótesis para un punto específico en el tiempo

t

$t$ y posición

x

$x$ . Este es un punto de fase constante (para el

A

$A$ ola y

B

$B$ respectivamente.) Para determinar la velocidad de una onda (seno o coseno) a partir de los primeros principios, uno quiere saber la velocidad de ese punto: ¿cuánto se mueve un punto de fase constante en el tiempo t? Esto da la respuesta de la velocidad de fase.

v_{pag} = \frac{ω}{k}

$v_p=\frac{\omega}{k}$

Entonces, las ondas componentes se mueven con velocidades de fase: $v_{p1}$ y $v_{p2}$ respectivamente. Usando los valores anteriores para $A$ y $B$ la derivación del medio es una aplicación de la identidad trigonométrica:

s i norte A + s i norte B = 2 s i norte (1 / 2 (A + B)) \cdot C o s (1 / 2 (A - B)) .

$sin A + sin B = 2 sin (1/2(A+B)) \cdot cos (1/2(A-B)).$

Esto da su expresión para $s = s(x,t)$ . Entonces, ¿cómo se puede hablar aquí de un punto de fase constante para obtener la velocidad del grupo, ya que es un producto de seno y coseno?

Bueno, el truco es reconocer los dos componentes de onda separados y tratarlos (por ahora) como dos ondas separadas y calcular su velocidad (de fase), es decir, la tasa de movimiento de los puntos de fase constante en cada "onda".

Para la onda sinusoidal, es decir, la envolvente, obtendríamos $\frac{\overline{\omega}}{\overline{k}}$ .

Ahora para la onda coseno. La respuesta corta es que también estamos buscando su velocidad de fase, a saber $\frac{\Delta{\omega}}{\Delta k}$ .

Sin embargo, lo que su profesor ha hecho aquí es calcular a partir de primeros principios la velocidad de esa onda coseno. Eso es pedir la definición de un punto de fase constante, a saber: $\frac{\Delta{\omega}}{2}t - \frac{\Delta k}{2} x = const$ y luego determinar la velocidad (por diferenciación, etc.) de este punto, nuevamente resultando en

v_{gramo} = \frac{Δ ω}{Δ k}

$v_g=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}$

Pero $\omega_1t-k_1x$ no es constante $x$ y $t$ son variables de una onda. ¿Cómo quisiste decir esto? ¿Puedes explicar cómo esto puede ser una constante?
He extendido esta respuesta para cubrir algunos antecedentes del cálculo.
Aprecio el esfuerzo. Creo que ahora entiendo. La velocidad de grupo aquí es una velocidad de fase de una envolvente. ¡BUEN TRUCO!

Cmouli141 · Answer 2

La explicación es perfecta pero hay algún error en la parte donde dices:

Aquí ω es mayor que Δω y por eso:

Corrección

sin⁡(ωt−kx) es una parte que declara la fase dentro de la envolvente.

Y

Cos⁡(Δω/2t−Δk/2x) es una parte que declara la envolvente.

La razón es que ω > ∆ω (obviamente) y más ω menos T provoca que la ola se acalambre. Así que ahí es donde creo que te equivocas. Velocidad de grupo: no es más que la velocidad de fase de una envolvente de dicha onda. Entonces la ecuación de la envolvente es:

Cos⁡(Δω/2t−Δk/2x)

Así que aquí consideraremos dos puntos que serían la Cresta A y B de la ola. Las crestas están en fase (ambos puntos de fase = Δω/2t−Δk/2x= π/2) por lo que podemos concluir que la fase es constante en la ecuación de onda. Si tiene problemas para hacer eso, visualice esto: también podría probar así

PD: PERDÓN POR LA ESCRITURA A MANO Y LAS HABILIDADES DE DIBUJO

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