¿Cómo calcular la fuerza requerida para cambiar un volante (girando) en un ángulo de 180 grados o en un ángulo diferente?

La respuesta a su pregunta es que no se requiere una fuerza mínima para producir la rotación requerida.
Lo que necesita es un par para hacer que el volante gire sobre el eje vertical y luego, en el momento adecuado, cuando se alcanza el ángulo requerido, debe apagar el par.
El tamaño de los pares aplicados y, por lo tanto, de las fuerzas, dependerá de la rapidez con la que desee cambiar el ángulo.
Cuanto mayores sean los pares y las fuerzas, más rápido será el cambio.

En el diagrama de la izquierda, el par$\tau$es proporcionada por un par de magnitud$Fd$dónde$d$es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dos fuerzas.

Ahora podría pensar que las direcciones de las fuerzas (paralelas al eje vertical sobre el que desea girar el volante) y, por lo tanto, el par es incorrecto; no es y para muchos totalmente contrario a la intuición.

He omitido la notación vectorial en mis diagramas para hacerlos más claros.

En el diagrama de la derecha, la velocidad angular del volante es$\vec \omega$y desea girar el volante sobre el eje vertical para que su nueva velocidad angular sea$\vec \omega +\Delta \vec \omega$con las magnitudes de estas dos velocidades angulares iguales.
La velocidad angular inicial, la velocidad angular final y el cambio en la velocidad angular$\Delta \vec \omega$están todos en un plano que es ortogonal al eje de rotación.

Ahora, la dirección del cambio de velocidad angular representa una rotación en el sentido de las agujas del reloj (regla de agarre de la mano derecha) cuando se mira desde la derecha del diagrama y esta es también la dirección del par proporcionado por el par.

Así que aplica un par al sistema, permite que el volante gire una cantidad adecuada y luego apaga el par.
Aplicar una fuerza/torque mayor hará que el volante llegue a la posición final más rápido.

De hecho, el volante actúa como un giroscopio sometido a una precesión que el profesor Lewin llama la parte menos intuitiva de la mecánica y le sugiero que vea este video de alrededor de las 14:00 para obtener más información.
En el video, una de las fuerzas que produce el par en la rueda de la bicicleta es el peso hacia abajo de la rueda y la otra es la fuerza hacia arriba que ejerce la cuerda sobre el eje de la rueda.

Resuelva esto por analogía con un cuerpo que se traslada (no gira). Su momento lineal$p$es:

$$p=mv$$

Con$m$la masa y$v$la velocidad lineal.

Toma la derivada al tiempo de ambos lados:

$$\frac{dp}{dt}=m\frac{dv}{dt}=ma=F$$

Para un cuerpo en rotación pura, el vector de momento angular es$\vec{L}$:

$$\vec{L}=I\vec{\omega}$$

Dónde$\vec{\omega}$es el vector de velocidad angular y$I$el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

Toma la derivada en el tiempo de ambos lados:

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=I\frac{d\vec{\omega}}{dt}=\vec{\tau}$$ Dónde $\vec{\tau}$es el vector de torque requerido para efectuar un cambio en la dirección del vector de momento angular $\vec{\omega}$.

En notación escalar podemos escribir:

$$\tau=\alpha I$$

Dónde$\alpha$es la tasa de cambio de dirección de la$\vec{\omega}$vector en$\mathrm{radians/s}$. Si desea que el volante cambie su plano de rotación lentamente, solo se necesita un par pequeño, pero los cambios más rápidos requieren un par mayor.

Tenga en cuenta que no podemos, como insinúa en su imagen, aplicar fuerza al eje: solo el par puede hacer que el eje gire.