Contradicción sobre la masa oscilante [cerrado]

Question

Contradicción sobre la masa oscilante [cerrado]

Tolga A.

Una cuenta oscila en dirección horizontal como se muestra en la figura, nuestro objetivo es encontrar la frecuencia angular de la cuenta oscilante

Primero, podemos escribir el potencial como:

V (yo) = \frac{1}{2} k \cdot {yo}^{2}

$V(l)=\frac{1}{2}k\cdot l^2$ aquí

l = \sqrt{x^{2} + l_{0}^{2}} - l_{0}

$\quad l=\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \quad$ entonces:

V (X) = \frac{1}{2} k \cdot {(\sqrt{X^{2} + {yo}_{0}^{2}} - {yo}_{0})}^{2}

$V(x) =\frac{1}{2}k\cdot \left(\sqrt {x^2+l^2_0}\ \ - l_0 \right)^2$ Tomando la segunda derivada de esto:

V^{″} (X) = \frac{k (\sqrt{X^{2} + {yo}_{0}^{2}} (- X^{4} - {yo}_{0}^{2} X^{2}) + {(X^{2} + {yo}_{0}^{2})}^{\frac{3}{2}} (2 X^{2} + {yo}_{0}^{2}) - {yo}_{0}^{3} X^{2} - {yo}_{0}^{5})}{{(X^{2} + {yo}_{0}^{2})}^{\frac{5}{2}}}

$V''(x)= \dfrac{k\left(\sqrt{x^2+l_0^2}\left(-x^4-l_0^2x^2\right)+\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{3}{2}\left(2x^2+l_0^2\right)-l_0^3x^2-l_0^5\right)}{\left(x^2+l_0^2\right)^\frac{5}{2}}$ nuestra posición de equilibrio en

x

$x$ la direccion es

x_{e q} = 0

$x_{eq}=0$ enchufando esto en

ω = \sqrt{\frac{V^{″} (X_{mi q})}{metro}}

$\omega = \sqrt\frac{V''(x_{eq})}{m}$ da:

ω = \sqrt{\frac{V^{″} (0)}{metro}} = 0

$\omega = \sqrt\frac{V''(0)}{m} = 0$ Parece un poco tonto porque parece obvio que debería oscilar con una frecuencia angular distinta de cero. ¿Hay alguna forma de encontrar esta frecuencia angular?

Tolga A.

@AaronStevens Gracias por comentar, revisé el derivado en el papel y también lo verifiqué en Wolfram para ver si me perdí algo pero no pude encontrar ningún error. Trabajando con

l

$l$ parece un poco complicado pero vale la pena intentarlo.

alfredo centauro

Tolga, puede que me equivoque en esto, pero creo que, contrariamente a la prescripción habitual de observar pequeños desplazamientos para linealizar un oscilador, esta requiere observar grandes desplazamientos. He editado mi respuesta para abordar este punto.

jerbo sammy

Posible duplicado de Comprender la oscilación transversal en sistemas de 1 masa y 2 resortes

jerbo sammy

Su conclusión es correcta: la frecuencia angular para oscilaciones de pequeña amplitud (

A \to 0

$A\to 0$ ) es cero. De su suposición se deduce que la tensión en el resorte es cero en la posición de equilibrio. Si el resorte tiene una tensión distinta de cero en la posición de equilibrio, obtendrá una frecuencia de oscilación distinta de cero para amplitudes pequeñas.

Respuestas (3)

Contradicción sobre la masa oscilante [cerrado]

@AaronStevens Gracias por comentar, revisé el derivado en el papel y también lo verifiqué en Wolfram para ver si me perdí algo pero no pude encontrar ningún error. Trabajando con $l$ parece un poco complicado pero vale la pena intentarlo.
Tolga, puede que me equivoque en esto, pero creo que, contrariamente a la prescripción habitual de observar pequeños desplazamientos para linealizar un oscilador, esta requiere observar grandes desplazamientos. He editado mi respuesta para abordar este punto.
Posible duplicado de Comprender la oscilación transversal en sistemas de 1 masa y 2 resortes
Su conclusión es correcta: la frecuencia angular para oscilaciones de pequeña amplitud ( $A\to 0$ ) es cero. De su suposición se deduce que la tensión en el resorte es cero en la posición de equilibrio. Si el resorte tiene una tensión distinta de cero en la posición de equilibrio, obtendrá una frecuencia de oscilación distinta de cero para amplitudes pequeñas.

alfredo centauro · Answer 1

¿Hay alguna forma de encontrar esta frecuencia angular?

La fuerza debida a este potencial es

F = - k X (1 - \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{{yo}_{0}^{2} + X^{2}}}) \approx - \frac{k}{2 {yo}_{0}^{2}} X^{3}, X ≪ {yo}_{0}

$F = -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{l^2_0 + x^2}}\right)\approx -\frac{k}{2\,l^2_0}x^3,\quad x\ll l_0$

y así este sistema no lineal no es aproximadamente lineal en el régimen de pequeños desplazamientos como, por ejemplo, un péndulo. No parece probable que el movimiento sea descrito por una sinusoide pura de frecuencia angular $\omega$

Después de tomar un poco más de café, se me ocurrió que en el régimen de grandes desplazamientos, la fuerza es de aproximadamente

F \approx - k X (1 - \frac{{yo}_{0}}{\sqrt{X^{2}}}) \approx - k X, X ≫ {yo}_{0}

$F \approx -kx\left(1 - \frac{l_0}{\sqrt{x^2}}\right)\approx -kx,\quad x\gg l_0$

Por lo tanto, para una amplitud lo suficientemente grande, esperaría que el movimiento sea aproximadamente sinusoidal con frecuencia angular $\omega \approx \sqrt{k/m}$ . Habrá, por supuesto, componentes de frecuencia adicionales presentes, aunque espero que estos se vuelvan relativamente más pequeños a medida que la amplitud aumenta.

Recuerdo un circuito push-pull BJT clase B donde existe la llamada distorsión cruzada cuando un transistor se 'apaga' y el otro transistor se 'enciende'. La curva de transferencia de voltaje es bastante no lineal en esta región pero bastante lineal en el resto.

Credito de imagen

Por lo tanto, este circuito distorsiona mucho las señales de entrada sinusoidales de pequeña amplitud, pero el contenido de distorsión de la salida disminuye rápidamente a medida que aumenta la amplitud de entrada.

Sí, noté que también funcionaría para grandes desplazamientos, pero no sabía cómo manejarlo. Muy genial.

biofísico · Answer 2

El problema es que cerca del equilibrio, su fuerza no es lineal, por lo que no podemos aproximar el sistema como un oscilador armónico simple.

Tu fuerza horizontal es

F_{X} = \frac{- k X (\sqrt{X^{2} + {yo}_{0}^{2}} - {yo}_{0})}{\sqrt{X^{2} + {yo}_{0}^{2}}} = - k X + \frac{k X {yo}_{0}}{\sqrt{X^{2} + {yo}_{0}^{2}}}

$F_x=\frac{-kx\left(\sqrt{x^2+l_0^2}-l_0\right)}{\sqrt{x^2+l_0^2}}=-kx+\frac{kxl_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}$

Desafortunadamente, esto no soluciona su problema, ya que $\frac{dF}{dx}=0$ cuando $x=0$ , tan cerca $x=0$ (o $x\ll l_0$ ) la fuerza no es lineal (es decir, no parece $F=-kx$ para $k\neq0$ ). Por lo tanto, su conclusión es correcta. Simplemente significa que no podemos encontrar una cantidad que represente una frecuencia angular para SHM.

Tenga en cuenta que, en general, solo porque la fuerza en sí no es de la forma $F=-kx$ no significa que no podamos aproximar la fuerza para tener esta forma cerca del equilibrio. Desafortunadamente, para este caso específico, la fuerza no se puede aproximar de esta manera.

Valle · Answer 3

Tenga en cuenta que la fórmula que está utilizando para $\omega$ asume un movimiento armónico simple, y el potencial que está utilizando no conduce a un movimiento armónico simple.

Contradicción sobre la masa oscilante [cerrado]

Tolga A.

Tolga A.

alfredo centauro

jerbo sammy

jerbo sammy

Respuestas (3)

alfredo centauro

biofísico

biofísico

Valle

Pregunta de equilibrio Block-Spring [duplicado]

¿Cómo calcular la energía potencial de los osciladores acoplados?

Energía cinética máxima de un resorte

Encontrar el coeficiente de fricción

¿Por qué los resortes unidos sin masa actúan como una cuerda bajo tensión?

Energía cinética de un resorte masivo

Posición de dos bloques unidos por un resorte en función del tiempo

Sistema de oscilador armónico simple y cambios en su energía total

¿Qué enfoque tomar con un resorte vertical?

Energía cinética en un resorte