Energía potencial de resortes y gravedad, y trabajo de una fuerza.

Cuando$\theta = 0$la extensión del resorte es cero y tome esto como el cero de la energía potencial gravitatoria.

Con la varilla en ángulo$\theta$a partir de la geometría del sistema hallar la extensión$x$del resorte y la altura vertical$h$a través del cual ha caído el centro de masa de la barra.

La energía potencial del sistema.$V = \frac 12 k x^2 - mgh$

Diferenciar$V$con respecto a$\theta$.

$\frac {dV}{d\theta} =0$es la condición de equilibrio y resolver la ecuación resultante para tres valores de$\theta$, uno de los cuales es fácil de encontrar pero los otros dos son un poco más difíciles.

Diferencie de nuevo para obtener$\frac {d^2V}{d\theta^2}$y pon tus tres valores de$\theta$decidir qué tipo de equilibrio es para cada uno de los valores de$\theta$.

La forma 'más fácil' de resolver esto es usando energía, como lo sugieren OP y Farcher. Comience por sumar las energías potenciales de gravitación y resorte de la siguiente manera:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kx^2$$

x viene dada por la siguiente relación (el resorte siempre estará en tensión):

$$x=lsin\theta+lcos\theta-l=l(sin\theta+cos\theta-1)$$

Esto da la siguiente ecuación para la energía total:

$$E = -mg\frac{l}{2} sin\theta + \frac 12 kl^2(sin\theta+cos\theta-1)^2$$

Derivando esto da:

$$\frac{dE}{d\theta} = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(cos^2\theta-sin^2\theta-cos\theta+sin\theta)$$

(Llegué a esta misma ecuación al equilibrar las fuerzas, por lo que parece ser correcto). Cuando esto sea igual a cero, se obtendrán los puntos de equilibrio. Usando las siguientes relaciones:

$sin^2\theta=1-cos^2\theta$

$sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}$

lo anterior se puede reescribir como:

$$0 = -mg\frac{l}{2} cos\theta + kl^2(2cos^2\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}-cos\theta-1)$$

Esto se puede resolver para encontrar$cos\theta$, pero es un poco complicado. Si multiplicas todo,$cos\theta=0$cae como una solución, lo que se espera ($\theta=\frac\pi2$). Sin embargo, esto deja una ecuación cúbica para ser resuelta para$cos\theta$, lo cual es un poco desagradable (se puede resolver a mano, pero no parece que la respuesta vaya a caer bien).

No era mi idea de una noche divertida, así que hice trampa y tracé la ecuación de energía vs$\theta$utilizando una herramienta gráfica:

Esto parece plausible, ya que pasa a través de energía cero en$\theta=0$y tiene el punto de equilibrio esperado en$\theta=\frac \pi2$. Los otros dos puntos de equilibrio están en$\theta=0.169$radianes (9,68 grados), que es estable, y$\theta=0.591$radianes (33,9 grados), que es inestable.

Entonces, a 9,68 grados, hay un punto de equilibrio estable, pero si empuja el haz más allá de los 33,9 grados (inestable), caerá al siguiente equilibrio estable en$\theta=\frac\pi2$.

Mi conjetura:
$\theta = 0$podría no ser el equilibrio porque si dejas de sostener la caja A, se caerá.
en$\theta = 90$podría ser un equilibrio neutral (supongo que el resorte puede pasar a través de la rueda hacia el lado de la caja A), ya que no hay tensión en el resorte y la fuerza normal en la caja B equilibra las fuerzas de gravedad (suponiendo que la caja B es restringida al plano horizontal solamente y no caerá).

Ahora, si asumimos que el resorte puede pasar a través de la rueda hacia el lado de la caja A (otra forma de verlo es que todo el conjunto de cuerda y resorte es solo resorte), entonces la tensión (tensión debida al resorte estirado) en el lado A (hacia arriba) será igual a la tensión en el lado B (hacia la izquierda). Ahora con eso en mente,$T = F = k(x-x_0)$donde x es la longitud total del conjunto cuerda-resorte, y$x_0$es la distancia sin estirar l. La longitud total se puede encontrar sumando la longitud del lado A y la longitud del lado B (que son solo los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa l).

Esa podría ser una pista útil.
Entonces, si está de acuerdo con mi idea, podría ser que cuando A cae, el resorte no se comprime sino que se estira.