Colgando masa del resorte/Potencial de ajuste a 0

Estoy trabajando en un problema del Libro de mecánica clásica de Taylor, y se destacan un par de problemas que nunca entendí del todo (a pesar de obtener buenas calificaciones en mecánica universitaria avanzada y EM).

Aquí están las preguntas:

a ) Demuestre que un resorte que obedece la Ley de Hooke tiene una energía potencial correspondiente$U = \frac{1}{2}kx^2$si elegimos$U$ser cero en la posición de equilibrio.

b) Si este resorte se cuelga verticalmente con una masa$m$suspendido del otro extremo y obligado a moverse solo en la dirección vertical, encuentre la extensión$x_0$de la nueva posición de equilibrio. Muestre que el potencial total (resorte más gravedad) tiene la misma forma$\frac{1}{2}ky^2$si usamos la coordenada$y$igual al desplazamiento medido desde la nueva posición de equilibrio en$x=x_0$, y redefinir nuestro punto de referencia para que$U=0$en$y=0$.

Lo que yo sé

Sé que definimos el potencial de un campo como el trabajo realizado para mover un objeto a través del campo desde un punto de referencia$x_0$en el que definimos el potencial para ser$0$

$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}~~$

Lo que no tengo claro Lo que no tengo claro es qué estamos haciendo matemáticamente cuando "establecemos$U =0$". Lo he pensado de varias maneras diferentes y nunca he tenido muy claro cuál es el correcto:

1 ) Lo he pensado como una aplicación del teorema fundamental del cálculo$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} = -[U(\vec{r}) - U(\vec{r_0})]~~$

Esta última igualdad es donde estoy un poco confundido (obviamente porque acabo de probar que algo es igual a su propio inverso aditivo)

Ahora,$U(r_0)$se desvanece, porque elegimos que sea cero.

Editar, se ha señalado que esto es defectuoso porque la antiderivada de la fuerza evaluada en un punto no es en sí misma un potencial.

2) Alternativamente, cambiamos nuestro sistema de coordenadas de manera que colocamos el origen donde$U = 0$. Suponiendo que todos los potenciales dependen de la posición, de modo que el potencial es cero cuando$\vec{r} = 0$, esto funciona bien, pero no sé si hay potenciales exóticos que dependen de$\vec{r}$de alguna otra manera.

Mi intento de soluciones

1)

Si arreglo mis ejes de coordenadas de manera que el extremo no fijo del resorte se encuentre en el origen ($\vec{r}= 0$), obtenemos que el trabajo realizado para estirar el resorte es:

$\int_0^x \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_0^x kx'dx' = -\frac{kx'^2}{2}\big|_0 ^ x = -\frac{kx^2}{2}$.

Eso funciona, pero no tengo claro si estoy "configurando" correctamente$U$a cero en el punto de referencia.

2)

Encontrar la nueva posición de equilibrio es simple; necesito saber cuando la fuerza debida a la gravedad es igual a la fuerza del resorte; Eso es cuando

Así que nuestro nuevo$x_0 = \frac{mg}{k}$

La siguiente parte es bastante confusa para mí; si establecemos nuestro nuevo potencial cero en la nueva posición de equilibrio, y entonces la fuerza sobre el resorte es$mg - ky$, dónde$y$es el desplazamiento de este nuevo equilibrio y estoy eliminando el hecho de que estos son vectores ya que estamos restringidos al movimiento 1-D. Entonces el potencial para cualquier desplazamiento dado es$\int_0^y (mg- ky )dy = mgy -\frac{ky^2}{2}$. Pero estoy tratando de mostrar que el potencial total es de la forma$-\frac{ky^2}{2}$. ¿Qué me estoy perdiendo?

Editar se señaló que la fuerza ejercida por el resorte en realidad depende de su desplazamiento de su longitud de reposo. Por lo tanto, el potencial debe ser$\int_0^y (mg- k(y-\frac{mg}{k})dy = -\frac{ky^2}{2}$

Cualquier aclaración sobre estos temas sería muy apreciada.