Energía potencial de un sistema masa-resorte

Tengo problemas para determinar la energía potencial del sistema masa-resorte que se muestra a continuación. Suponemos que las extensiones de los 3 resortes son cero cuando X 1 = X 2 = 0 . La energía potencial que obtuve es aparentemente incorrecta. Esto es lo que he hecho:

tu = 1 2 k X 1 2 + 1 2 k X 2 2 + 1 2 k ( X 1 + X 2 ) 2 = k ( X 1 2 + X 1 X 2 + X 2 2 ) ,
donde he considerado la energía potencial de cada resorte por separado. La versión del esquema de marcas para tu Es esto:

k ( X 1 2 − X 1 X 2 + X 2 2 ) , así que supongo que para ellos, el PE para la primavera media es tu metro i d = 1 2 k ( X 1 − X 2 ) 2 = 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2 . Así que mi conjetura es que han asumido que X 1 es negativo? ¿Es esta la fuente de la discrepancia?

Sistema Masa-Resorte

Para la energía potencial almacenada en el resorte medio, considere el sistema de dos masas conectadas por el resorte de longitud relajada ℓ . Desplazar metro 2 por la derecha por X 2 . Si metro 1 estaba fijado a la pared tendrías una contribución ∼ k X 2 2 . Pero metro 1 no está restringida de esta manera, por lo que también se mueve hacia la derecha a través de la conexión y la nueva longitud del resorte es ℓ + X 2 − X 1 .
Tú y @nicael están confundiendo dos temas no relacionados. Una cuestión son las condiciones iniciales impuestas a las masas. Puede configurar el sistema de vibración desplazando inicialmente cada una de las masas hacia la izquierda o hacia la derecha. El segundo problema es su elección de la dirección positiva del eje x. Seleccionar la misma dirección para ambas masas suele ser la opción preferida. En ese caso, 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2 es correcto.

Respuestas (1)

Considere un diagrama ligeramente diferente:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Las extensiones (desplazamiento del extremo de un resorte desde la posición no estirada) de los tres resortes son X 1 X ^ , X 2 X ^ 2 y ( X 2 − X 1 ) X ^ dónde X 1 y X 2 son las componentes de los desplazamientos en el X ^ dirección.
Tenga en cuenta que los componentes X 1 y X 2 puede ser negativo o positivo.

Esto da la energía potencial total almacenada en los tres resortes como 1 2 k X 1 2 + 1 2 k X 2 2 + 1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2

Si X 1 = X 2 entonces no hay energía potencial elástica almacenada en el resorte medio como cabría esperar.

Así que mi conjetura es que han asumido que X 1 es negativo?

Si el desplazamiento del extremo del resorte izquierdo es como se muestra en su diagrama, entonces la extensión del resorte central sigue siendo ( X 2 − X 1 ) X ^ pero en este caso el componente X 1 tendrá un valor negativo por lo que terminará con ( X 2 − ( − | X 1 | ) ) = ( X 2 + | X 1 | ) como la extensión del resorte medio.

Así es, pero no parece ser el caso simplemente porque la imagen muestra claramente que X 1 y X 2 tienen dirección opuesta, o no?
@nicael Por lo general, solo una dirección se define como positiva. En este ejemplo he sugerido que es X ^ .
Esta es una manera bastante larga de decir "Sí, tienes razón".
@sammygerbil Entonces, ¿está diciendo que las direcciones de las flechas en el diagrama definen las direcciones positivas?
Estoy diciendo que Ruslan ya ha identificado la fuente de la discrepancia. No hay ninguna razón por la cual las direcciones en el diagrama no puedan definir las direcciones + ve para X 1 , X 2 . Pero esta convención es inconsistente con la respuesta dada en el esquema de calificación.
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