¿Cómo calcular la energía necesaria para hacer que algo gire alrededor de su eje a una velocidad determinada?

Suponiendo que no haya fricción, la cantidad de energía es simplemente la diferencia en la energía cinética de rotación$K_R$después y antes de que se estableciera la rotación:

$$\Delta K_R=\frac12I\omega^2\tag{1}$$

Tenga en cuenta que 'eje propio' es realmente un término sin sentido: se puede hacer que un objeto gire sobre cualquier eje (incluso uno que no atraviesa el objeto). En$(1)$,$I$es el momento de inercia con respecto al eje elegido .

En física realmente no usamos$RPM$, en su lugar usamos la velocidad angular ,$\omega$:

$$\omega=2\pi\frac{RPM}{60}\text{ in }\mathrm{s^{-1}}$$

¿Y cambia este cálculo si el objeto está en movimiento? ¿Cambia el cálculo según el tipo de movimiento en el que se encuentre (lineal o rotacional)?

El movimiento lineal y rotacional son perfectamente independientes entre sí. Un objeto puede estar viajando a velocidad de crucero, digamos$v$, teniendo así una energía cinética de traslación$K_T=\frac12mv^2$. En algún momento, un par neto puede hacer que comience a girar alrededor de algún eje. esto no cambiará$v$o$K_T$. La energía cinética total$\Sigma K=K_T+K_R$.

Y en cuanto a la rotación, puede girar sobre su propio eje, lo que probablemente reduciría la energía necesaria para hacerlo girar, o puede orbitar alrededor de otro punto.

No, ambos movimientos (y energías asociadas) son independientes entre sí.

No es prudente hablar de una rotación 'alrededor de otro punto' : la rotación SIEMPRE se trata de un eje, no de un punto.