Tasa de acierto de moléculas en una pared

Revisando mi examen final del semestre pasado para prepararme para las composiciones:

Pregunta:

Un pistón de masa M puede moverse libremente en un tubo con área de sección transversal A lleno de gas monoatómico ideal con masa molecular m ≪ M y densidad n a temperatura T.

La primera parte de la pregunta dice:

Calcule la tasa de colisiones moleculares con el pistón (ambos lados).

Encontré una ecuación en uno de mis libros favoritos de SM (Blundell y Blundell) que creo que ayudaría aquí:

Sin embargo, la solución de mi profesor funciona completamente en 1 dimensión y, por lo tanto, usa la distribución 1-d maxwell-boltzmann. Y así puedo justificarme a mí mismo tomando la$1/2 cos(\theta) sin(\theta) d\theta$de la ecuación 6.12 para que coincida con lo que mi profesor tiene en su solución.

De este modo

$$N= A \cdot v \cdot dt \cdot n \cdot f(v) \cdot dv$$

donde n = densidad numérica (N/V), A es el área de la pared/pistón, v es la velocidad, dt es algún intervalo de tiempo y f(v) es la distribución 1-d de Maxwell Boltzmann.

Mi pregunta es de dónde viene la integración de mis profesores en su solución provista:

$$\frac{d N}{dt} = 2 \cdot \bigg(\frac{m}{2 \pi T}\bigg)^{1/2}\cdot n \cdot A \cdot \int_0^\infty v e^{\frac{-mv^2}{2 T}} dv = n A \sqrt{\frac{2T}{\pi m}}$$

Tengo casi todos estos ingredientes de la ecuación de Blundell y Blundell, excepto la integración en el lado derecho y el dN en lugar de solo la N en el lado izquierdo.

La única integración de la distribución con la que estoy familiarizado es para la velocidad promedio,

$$\bar{v} = \int_0^\infty v f(v) dv$$

¿Qué estoy leyendo mal con respecto a la integración faltante en esa ecuación de Blundell y Blundell?

Un ejemplo de integración para que NI lo sepa es en el caso del gas fermi degenerado a una temperatura pequeña pero distinta de cero de la ecuación 7.53 de Schroeder

$$N= \int_0^\infty g(\epsilon) \bar{n}_{FD}(\epsilon) d\epsilon$$