¿Cómo calcular la amplificación de imágenes en métrica de Schwartzschild?

Esto se explica, por ejemplo, en Gravitational Lenses de Schneider, Ehlers y Falco , o cualquier otra fuente estándar. Voy a esbozar los resultados.

El primer punto importante es que las lentes gravitacionales conservan el brillo de la superficie. Lo que esto significa es que la lente desvía los rayos de luz pero no cambia su energía, porque la gravedad no es un emisor o absorbente, y esta situación estática no afecta la frecuencia de los fotones (para fuentes lejanas, el corrimiento al rojo cosmológico debe ser tomado en cuenta). Por lo tanto, si un montón de rayos de luz salen de la fuente ocupando un elemento de ángulo sólido$d\Omega_S$y llegar al observador en un ángulo sólido$d\Omega_O$, el aumento es simplemente la relación de las áreas:

$$\mu = \frac{d\Omega_O}{d\Omega_S} = \left|\frac{\sin \theta\ d\theta}{\sin \beta\ d\beta}\right| \approx \left|\frac{\theta\ d\theta}{\beta\ d\beta}\right| = \left| \frac{\beta\ d\beta}{\theta\ d\theta}\right| ^{-1}$$

Ahora necesitamos la ecuación de la lente de campo débil$\beta = \theta - \frac{d_{LS}}{d_{OS}}\alpha$(todas las cantidades son como en su diagrama). El famoso cálculo de Einstein del ángulo de desviación$\alpha$da eso$\alpha=4M/r_0$, dónde$r_0$es el parámetro de impacto o la distancia de aproximación más cercana, ya que son iguales dentro de esta aproximación. También tenemos$r_0 = D_{OL}\theta$. Podemos sustituir esto en la ecuación de la lente y resolver para$\theta(\beta)$.

En este punto conviene introducir el radio de Einstein$\theta_E = \sqrt{\frac{4MD_{LS}}{D_{OS}D_{OL}}}$. La ecuación de la lente tiene dos soluciones.$\theta = \frac12(\beta \pm \sqrt{\beta^2+4\theta_E^2})$, correspondiente a las dos imágenes. Ahora es cuestión de tomar derivadas y hacer algo de álgebra para calcular los aumentos:

$$\mu = \frac14 \left(\frac{\beta}{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}} + \frac{\sqrt{\beta^2+4\theta_E^2}}{\beta} \pm 2\right)$$

Esto diverge cuando$\beta \to 0$(que es el límite de lente débil), y en este régimen ambos aumentos se aproximan$\theta_E/2\beta$. Sumándolos a ambos obtenemos el aumento total$\mu = \theta_E/\beta$; establecer el radio de Schwarzschild$2M$igual a$1$, obtenemos su expresión.